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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSMadridPAU 2016Ordinaria

Matemáticas CCSS · Madrid 2016

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder a las cuestiones de la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico. CALIFICACIÓN: Cada pregunta se valorará sobre 2 puntos. TIEMPO: 90 minutos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2 puntos
Considérense las matricesA=(322174452)B=(215301)C=(248011001)A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 1 & 7 & 4 \\ 4 & 5 & 2 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad C = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 8 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
a
Calcúlese el determinante de la matriz A⋅C⋅CT⋅A−1A \cdot C \cdot C^T \cdot A^{-1}.1 pt
b
Calcúlese la matriz M=ABM = A B. ¿Existe M−1M^{-1}? Nota: CTC^T denota la matriz traspuesta de la matriz CC.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Sea SS la región del plano definida por:y+x≤5;y−x≤3;12x−y≤−2.y + x \leq 5; \quad y - x \leq 3; \quad \frac{1}{2} x - y \leq -2.
a
Represéntese la región SS y calcúlense las coordenadas de sus vértices.1 pt
b
Obténganse los valores máximo y mínimo de la función f(x,y)=2x+yf(x, y) = 2x + y en la región SS indicando los puntos de SS en los cuales se alcanzan dichos valores máximo y mínimo.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Se considera la función real de variable real:f(x)=x3+8.f(x) = x^3 + 8.
a
Determínese el área de la región acotada delimitada por la gráfica de f(x)f(x), el eje de abscisas y por las rectas x=−3x = -3 y x=−1x = -1.1 pt
b
Calcúlese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x)f(x) en el punto de abscisa x=1x = 1.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Una conocida orquesta sinfónica está compuesta por un 55%55\% de varones y un 45%45\% de mujeres. En la orquesta un 30%30\% de los instrumentos son de cuerda. Un 25%25\% de las mujeres de la orquesta interpreta un instrumento de cuerda. Calcúlese la probabilidad de que un intérprete de dicha orquesta elegido al azar:
a
Sea una mujer si se sabe que es intérprete de un instrumento de cuerda.1 pt
b
Sea intérprete de un instrumento de cuerda y sea varón.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
La producción diaria de leche, medida en litros, de una granja familiar de ganado vacuno se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ\mu desconocida y desviacion típica σ=50\sigma = 50 litros.
a
Determínese el tamaño mínimo de una muestra aleatoria simple para que el correspondiente intervalo de confianza para μ\mu al 95%95\% tenga una amplitud a lo sumo de 1010 litros.1 pt
b
Se toman los datos de producción de 2525 días escogidos al azar. Calcúlese la probabilidad de que la media de las producciones obtenidas, X‾\overline{X}, sea menor o igual a 940940 litros si sabemos que μ=950\mu = 950 litros.1 pt
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Se considera el sistema de ecuaciones lineales:{x+2y+z=1x+2y+3z=0x+ay+2z=0\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ x + 2y + 3z = 0 \\ x + ay + 2z = 0 \end{cases}
a
Discútase para los diferentes valores del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}.1 pt
b
Resuélvase para a=0a = 0.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Se considera la función real de variable realf(x)={−x+bx−2si x≤−1,x2+6x+5x2+4x+3si x>−1.f(x) = \begin{cases} \frac{-x + b}{x - 2} & \text{si } x \leq -1, \\ \frac{x^2 + 6x + 5}{x^2 + 4x + 3} & \text{si } x > -1. \end{cases}
a
Determínese para qué valores del parámetro bb la función f(x)f(x) es continua en x=−1x = -1.1 pt
b
Calcúlense las asíntotas de f(x)f(x).1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Sabiendo que la derivada de una función real de variable real es:f′(x)=6x2+4x−2.f'(x) = 6x^2 + 4x - 2.
a
Determínese la expresión de f(x)f(x) sabiendo que f(0)=5f(0) = 5.1 pt
b
Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función ff así como sus máximos y mínimos locales, si los tuviese.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Tenemos dos urnas A y B. La urna A contiene 55 bolas: 33 rojas y 22 blancas. La urna B contiene 66 bolas: 22 rojas y 44 blancas. Se extrae una bola al azar de la urna A y se deposita en la urna B. Seguidamente se extrae una bola al azar de la urna B. Calcúlese la probabilidad de que:
a
La segunda bola extraída sea roja.1 pt
b
Las dos bolas extraídas sean blancas.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
El peso por unidad, en gramos, de la gamba roja de Palamós, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media μ\mu desconocida y desviación típica σ=5\sigma = 5 gramos.
a
Se ha tomado una muestra aleatoria simple de 2525 gambas y la media de sus pesos ha sido x‾=70\overline{x} = 70 gramos. Calcúlese un intervalo de confianza al 95%95\% para μ\mu.1 pt
b
Si sabemos que μ=70\mu = 70 gramos, y se consideran los pesos de las 1212 gambas de una caja como una muestra aleatoria simple, calcúlese la probabilidad de que el peso total de esas 1212 gambas sea mayor o igual que 855855 gramos.1 pt
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