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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2021Ordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2021

10 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger libremente cinco ejercicios completos de los diez propuestos. Se expresará claramente cuales son los elegidos. Si se resolvieran más, sólo se corregirán los 5 primeros que estén resueltos (según el orden de numeración de pliegos y hojas de cada pliego) y que no aparezcan totalmente tachados. 2.- CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas).

Ejercicio 1

1
2 puntos
Álgebra
a
Discutir según los valores del parámetro λ\lambda el sistema de ecuaciones lineales siguiente:{x−y+z=02x+y−z=0x+y+λz=0\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 2x + y - z = 0 \\ x + y + \lambda z = 0 \end{cases}1,2 pts
b
Resolverlo para λ=−1\lambda = -1.0,8 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Álgebra
Sea la matriz A=(n−101−1)A = \begin{pmatrix} n-1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.
a
Determinar los valores de nn para los que la matriz A2A^2 tiene inversa.1 pt
b
Para n=2n = 2, hallar la matriz XX que verifica la ecuación AX+A=2IAX + A = 2I, siendo II la matriz identidad de orden 2.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Geometría
a
Hallar la recta perpendicular al plano π≡x+y+z=1\pi \equiv x + y + z = 1 que pasa por el punto A=(0,0,0)A = (0, 0, 0).0,8 pts
b
Calcular la ecuación del plano respecto del cual los puntos P=(1,1,1)P = (1, 1, 1) y Q=(1,3,−1)Q = (1, 3, -1) son simétricos.1,2 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Geometría
Dados la recta r≡x+1−1=y−21=z−2r \equiv \frac{x + 1}{-1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{-2} y el punto P=(0,0,0)P = (0, 0, 0), hallar la ecuación del plano π\pi que contiene a rr y pasa por el punto PP.
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Análisis
Representar la función f(x)=e(x2)f(x) = e^{(x^2)}, determinando antes sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos relativos, sus intervalos de concavidad y convexidad y sus asíntotas.
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Análisis
Calcular lim⁡x→0ex−x−cos⁡(3x)sen⁡2(x)\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - \cos(3x)}{\sen^2(x)}.
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Análisis
a
Dadas las funciones f(x)=x2,g(x)=−x2+8f(x) = x^2, g(x) = -x^2 + 8, hallar los valores de x∈Rx \in \mathbb{R} para los que g(x)≥f(x)g(x) \geq f(x).0,5 pts
b
Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones f(x)f(x) y g(x)g(x).1,5 pts
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Análisis
Hallar los valores de aa, bb y cc para los cuales el polinomio P(x)=ax2+bx+cP(x) = ax^2 + bx + c cumple las siguientes condiciones: • P(0)=1P(0) = 1 • La pendiente de la recta tangente a la gráfica de P(x)P(x) en x=0x = 0 es m=1m = 1. • ∫02P(x)dx=12\int_{0}^{2} P(x) dx = 12.
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Ejercicio 9

9
2 puntos
Probabilidad y estadística
En un club deportivo, el 55% de los socios son hombres y el 45% mujeres. Entre los socios, el 60% de los hombres practica la natación, así como el 40% de las mujeres.
a
Describir los sucesos y sus probabilidades, y calcular la probabilidad de que un socio elegido al azar practique la natación.1,25 pts
b
Sabiendo que una persona practica la natación, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer?0,75 pts
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Ejercicio 10

10
2 puntos
Probabilidad y estadística
El tiempo empleado, en minutos, para obtener la respuesta de un test para detectar cierta enfermedad sigue una distribución normal de media 20 y de desviación típica 4.
Datos
  • F(x)=12π∫−∞xe−12t2dtF(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt
Gráfica de la función de distribución de una normal estándar F(x) con el área sombreada desde menos infinito hasta x.
a
¿En qué porcentaje de test se obtiene el resultado entre 16 y 26 minutos?1 pt
b
¿Cuántos minutos son necesarios para garantizar que se ha obtenido la respuesta del 96,41% de los test?1 pt
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