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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSBalearesPAU 2020Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Baleares 2020

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Contestad de manera clara y razonada cuatro cuestiones cualesquiera, escogidas de entre todas las propuestas en las opciones A y B conjuntamente. Se dispone de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total entre 4. Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo. Podéis utilizar calculadora de cualquier tipo, científica, gráfica o programable, pero no se autorizará el uso de las que lleven información almacenada o puedan transmitirla.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
10 puntos
Bernat quedó ayer con unos amigos en un bar y tomaron 4 cervezas, 3 panecillos y 5 cafés con leche. Todo ello les costó 19,5019{,}50 euros. Días atrás, había ido al mismo bar con su primo Martí, y por 2 cervezas, 1 panecillo y 2 cafés con leche habían pagado 8,108{,}10 euros. En este bar todas las cervezas valen lo mismo y todos los panecillos tienen el mismo precio.
a
Identificad las variables e interpretad el enunciado como un conjunto de ecuaciones lineales.2 pts
b
Hoy Bernat ha vuelto con otros amigos y han tomado 2 cervezas, 2 panecillos y 3 cafés con leche. Combinad las ecuaciones del apartado a) para deducir cuánto han pagado en total.3 pts
c
Si 1 cerveza, 1 panecillo y 1 café con leche cuestan 5,105{,}10 euros, ¿cuánto valen la cerveza, el panecillo y el café con leche por separado?5 pts
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
10 puntos
Sean las matrices A=(1011)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} y B=(1021)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}.
a
Calculad A2,A3A^2, A^3.2 pts
b
Proponed una fórmula para AnA^n y utilizadla para calcular A14A^{14}.4 pts
c
Resolved la ecuación matricial A⋅X+15Bt⋅B=2AA \cdot X + \frac{1}{5} B^t \cdot B = 2A, donde BtB^t denota la matriz transpuesta de BB.4 pts
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
10 puntos
De una función y=f(x)y = f(x) sabemos que su derivada es f′(x)=2x3−18xf'(x) = 2x^3 - 18x.
a
Determinad los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función y=f(x)y = f(x).5 pts
b
Determinad las abscisas de sus extremos relativos y clasificadlos.5 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
10 puntos
Un taller de joyería dispone de 150 gramos de plata y de 180 horas de trabajo para producir dos modelos de anillos. Para hacer un anillo del modelo A se necesitan 6 gramos de plata y 3 horas de trabajo, mientras que para hacer uno del modelo B se necesitan 2 gramos de plata y 6 horas de trabajo. Los anillos de los modelos A y B proporcionan, respectivamente, 35 y 55 euros de beneficio por unidad.
a
Plantead la maximización del beneficio de la joyería como un problema de programación lineal.4 pts
b
Dibujad la región factible para la solución, indicando las rectas y vértices que la delimitan.4 pts
c
Sabiendo que se venderá toda la producción, determinad cuántos anillos de cada modelo hay que producir para obtener el máximo beneficio e indicad cuál es este beneficio.2 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
10 puntos
Sean AA y BB dos sucesos tales que p(A∪B)=0,8p(A \cup B) = 0{,}8, p(Ac)=0,5p(A^c) = 0{,}5, donde AcA^c denota el suceso complementario del suceso AA, y P(A∩B)=0,3P(A \cap B) = 0{,}3.
a
Calculad las probabilidades p(B)p(B) y p(A/B)p(A/B).5 pts
b
Calculad las probabilidades p(A∩Bc)p(A \cap B^c) y p(Ac∪Bc)p(A^c \cup B^c).4 pts
c
¿Son AA y BB sucesos independientes? Justificad vuestra respuesta.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
10 puntos
Los beneficios semanales d'una empresa expresados en euros, cuando fabrica y vende xx objetos, se ajustan a la función:B(x)=−0,75x2+75x−1200, en que 20≤x≤80B(x) = -0{,}75x^2 + 75x - 1200, \text{ en que } 20 \leq x \leq 80
a
Calcular el beneficio que obtiene al fabricar y vender 20 objetos.2 pts
b
Buscad el número de objetos que debe fabricar y vender para obtener el beneficio máximo, así como este beneficio máximo.4 pts
c
El beneficio medio por xx objetos es M(x)=B(x)/xM(x) = B(x)/x. Decid cuántos objetos debe fabricar y vender para que el beneficio medio sea máximo, y cuál es este beneficio.4 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
10 puntos
En una población una variable aleatoria sigue una ley normal con desviación típica 8. Se ha elegido, al azar, una muestra de tamaño 100 y su media ha sido 67.
a
Calculad el intervalo de confianza del 93%, para la media de la población.5 pts
b
¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra que se debe tomar para estimar, con un nivel de confianza del 99%, la media de la población con un error no superior a 2?5 pts
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
10 puntos
En una población, el tanto por ciento de personas que miran un cierto programa de televisión es del 40%. Se sabe que el 60% de las personas que lo miran tienen estudios superiores y que el 30% de las personas que no lo miran no tienen estudios superiores.
a
Interpreta los datos proporcionados en términos de sucesos, probabilidades y probabilidades condicionadas.2 pts
b
¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga estudios superiores?4 pts
c
Buscad la probabilidad de que una persona que tenga estudios superiores, mire el citado programa.4 pts
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