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la cuevadel empollón
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Matemáticas CCSS · Andalucía 2016

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde. d) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Si AA es una matriz de dimensión m×nm \times n, indique la dimensión de una matriz XX si se verifica que (At⋅A)⋅X=In(A^t \cdot A) \cdot X = I_n.0,5 pts
b
Calcule dicha matriz XX en el caso en que A=(111−111)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.1,25 pts
c
Calcule, si es posible, el producto A⋅(At⋅A)A \cdot (A^t \cdot A).0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea la función f(x)={1ax2+1si x≤2−x+asi x>2f(x) = \begin{cases} \frac{1}{a}x^2 + 1 & \text{si } x \leq 2 \\ -x + a & \text{si } x > 2 \end{cases}, con a>0a > 0.
a
Calcule el valor del parámetro aa para que la función sea continua en su dominio. En este caso, ¿sería derivable en su dominio?1,3 pts
b
Para el valor a=4a = 4, represente gráficamente la función y halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x=−1x = -1.1,2 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Disponemos de tres monedas: 1 dólar, 1 libra y 1 euro. La moneda de 1 dólar está trucada y la probabilidad de que salga cara es el doble de la probabilidad de que salga cruz. La moneda de 1 libra también está trucada y tiene dos caras y la de 1 euro es correcta. Se escoge una de las tres monedas al azar y se lanza.
a
¿Cuál es la probabilidad de que salga cara?1,5 pts
b
Sabiendo que salió cruz, ¿cuál es la probabilidad de que la moneda lanzada fuera la de 1 dólar?1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Para estudiar el número de personas que van al cine mensualmente en una ciudad, se ha seleccionado una muestra aleatoria de 10 meses y se ha registrado el número de entradas al cine vendidas en cada mes. Los datos son los siguientes: 682 553 555 666 657 649 522 568 700 552
a
Suponiendo que el número de entradas vendidas mensualmente sigue una distribución Normal con desviación típica 50 entradas, calcule un intervalo de confianza, con un nivel del 95%, para el número medio de personas que van al cine mensualmente en esa ciudad.2 pts
b
¿Cuál es el error máximo que se comete al estimar esta media con este intervalo?0,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sean las matrices A=(3012)A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, B=(−23)B = \begin{pmatrix} -2 & 3 \end{pmatrix} y C=(−1−1)C = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}.
a
Justifique cuáles de las siguientes operaciones se pueden realizar y en dichos casos calcule el resultado: A⋅BA \cdot B, B⋅AB \cdot A, B⋅CB \cdot C y Ct⋅BtC^t \cdot B^t.1 pt
b
Calcule la matriz XX en la ecuación A⋅X+Bt=4CA \cdot X + B^t = 4C.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Se considera la función f(x)={4xsi x≤2x2−2x+2si x>2f(x) = \begin{cases} \frac{4}{x} & \text{si } x \leq 2 \\ x^2 - 2x + 2 & \text{si } x > 2 \end{cases}
a
Estudie la continuidad y la derivabilidad de esta función.1,5 pts
b
Estudie su monotonía y su curvatura para x>0x > 0.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
De los alumnos que se presentaron a las pruebas de selectividad de una provincia, 1150 se examinaron de Geografía; de estos, 598 eligieron la opción A. Se sabe que aprobaron esa asignatura el 78% de los que eligieron la opción A y el 74% de los que eligieron la opción B. Se ha escogido al azar uno de los alumnos que se examinaron de Geografía.
a
¿Cuál es la probabilidad de que este alumno haya aprobado esta asignatura?1,5 pts
b
Si se sabe que este alumno ha aprobado Geografía, ¿cuál es la probabilidad de que haya elegido la opción A?1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
La proporción de nacimientos que ocurren con luna llena en los hospitales de una ciudad se consideraba no inferior a 0,450{,}45, pero un estudio afirma que en la actualidad esta proporción ha descendido. Para contrastar esta hipótesis se han elegido al azar, en estos hospitales, a 200 recién nacidos, de los cuales 70 nacieron con luna llena. Decida mediante un contraste de hipótesis, con H0:p≥0,45H_0: p \geq 0{,}45, si la afirmación del estudio es correcta con un nivel de significación del 1%, indicando la región de rechazo.
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