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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2017Extraordinaria

Matemáticas II · Aragón 2017

8 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
3 puntos
Sea mm una constante real. Determine para qué valores de mm el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible: {5x+4y+2z=02x+3y+z=04x−y+m2z=m−1\begin{cases} 5x + 4y + 2z = 0 \\ 2x + 3y + z = 0 \\ 4x - y + m^2z = m - 1 \end{cases}
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
3 puntos
Sea kk una constante real y considere la matriz: A=(1040k3k+210−k)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & k & 3k + 2 \\ 1 & 0 & -k \end{pmatrix}
a)1 pts
Estudie la existencia de inversa de la matriz AA según los diferentes valores de kk.
b)1 pts
Si k=2k = 2, calcule la inversa de AA, si existe.
c)1 pts
Determine el rango de la matriz AA según los diferentes valores de kk.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
a)1,5 pts
Estudie la posición relativa de los planos: π:x−2y+z=1π′:{x=2λ+μy=λ+kμz=1−μ\pi : x - 2y + z = 1 \qquad \qquad \pi': \begin{cases} x = 2\lambda + \mu \\ y = \lambda + k\mu \\ z = 1 - \mu \end{cases} según los diferentes valores de la constante real kk.
b)0,5 pts
Determine el ángulo que forman esos planos cuando k=3k = 3.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
a)1,5 pts
Determine, como intersección de dos planos, la ecuación de la recta que es paralela a la recta: r:{2x−3y+z=4y+z=0r: \begin{cases} 2x - 3y + z = 4 \\ y + z = 0 \end{cases} y pasa por el punto P:(2,1,−1)P: (2, 1, -1).
b)0,5 pts
Determine el ángulo que forman los dos planos siguientes: π:2x−3y+z=4\pi : 2x - 3y + z = 4 π′:y+z=0\pi' : y + z = 0
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
4 puntos
Considere la función: f(x)=x2(1+x)f(x) = \frac{x^2}{(1 + x)}
a)0,5 pts
Determine el dominio de la función.
b)1,5 pts
Determine, si existen, sus asíntotas.
c)2 pts
Determine los intervalos de crecimiento y los de decrecimiento de la función f(x)f(x) así como sus máximos y mínimos relativos, si existen.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
4 puntos
a)1 pts
Determine los valores de "a" y "b" para que la función que aparece a continuación sea continua: f(x)={1/exsi x≤0acos⁡(x)+bsi 0<x≤πsen⁡(x)−axsi π<xf(x) = \begin{cases} 1/e^x & \text{si } x \leq 0 \\ a \cos(x) + b & \text{si } 0 < x \leq \pi \\ \sen(x) - ax & \text{si } \pi < x \end{cases}
b)1,5 pts
Calcule la integral: ∫x2(ln⁡x)2dx\int x^2 (\ln x)^2 dx
c)1,5 pts
Determine el siguiente límite: lim⁡x→1(e(x−1)−1)(x−1)\lim_{x \rightarrow 1} (e^{(x - 1)} - 1)^{(x - 1)}
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
1 punto
Se dispone de dos cajas con bolas blancas y negras. La caja A contiene 6 bolas blancas y 3 negras; y la caja B contiene 4 bolas blancas y 5 negras. Se lanza un dado y si sale par se sacan dos bolas de la caja A, una tras otra, sin reponer ninguna. Por su parte, si sale impar al lanzar el dado se sacan dos bolas de la caja B, también una tras otra, sin reponer ninguna. ¿Cuál es la probabilidad de extraer exactamente dos bolas blancas?
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
1 punto
En una clase de bachillerato, el 60% de los alumnos aprueban matemáticas, el 50% aprueban inglés y el 30% aprueban las dos asignaturas. Calcule la probabilidad de que un alumno elegido al azar:
a)0,5 pts
Apruebe alguna de las dos asignaturas (una o las dos).
b)0,5 pts
Apruebe Matemáticas sabiendo que ha aprobado inglés.
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