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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2017Extraordinaria

Matemáticas II · Aragón 2017

4 ejercicios

Instrucciones

Elija una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máxima. Como norma general, se deben valorar positivamente la exposición lógica, ordenada y coherente de las respuestas. De hecho, de acuerdo con las normas generales, los correctores podrán bonificar con un máximo de un punto estos aspectos. Si en el desarrollo de un problema se detecta un error numérico, que no sea manifiestamente inconsistente con la cuestión, y el desarrollo posterior es coherente con dicho error, no se debe dar especial relevancia al error, siempre y cuando el problema no haya quedado reducido a uno trivial o el resultado sea manifiestamente inconsistente con el problema a resolver.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Sea mm una constante real. Determine para qué valores de mm el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible:{5x+4y+2z=02x+3y+z=04x−y+m2z=m−1\begin{cases} 5x + 4y + 2z = 0 \\ 2x + 3y + z = 0 \\ 4x - y + m^2z = m - 1 \end{cases}
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Ejercicio 2

2
2 puntos
a
Estudie la posición relativa de los planos:π:x−2y+z=1π′:{x=2λ+μy=λ+kμz=1−μ\pi : x - 2y + z = 1 \qquad \qquad \pi': \begin{cases} x = 2\lambda + \mu \\ y = \lambda + k\mu \\ z = 1 - \mu \end{cases}según los diferentes valores de la constante real kk.1,5 pts
b
Determine el ángulo que forman esos planos cuando k=3k = 3.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
4 puntos
Considere la función:f(x)=x2(1+x)f(x) = \frac{x^2}{(1 + x)}
a
Determine el dominio de la función.0,5 pts
b
Determine, si existen, sus asíntotas.1,5 pts
c
Determine los intervalos de crecimiento y los de decrecimiento de la función f(x)f(x) así como sus máximos y mínimos relativos, si existen.2 pts
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Ejercicio 4

4
1 punto
Se dispone de dos cajas con bolas blancas y negras. La caja A contiene 6 bolas blancas y 3 negras; y la caja B contiene 4 bolas blancas y 5 negras. Se lanza un dado y si sale par se sacan dos bolas de la caja A, una tras otra, sin reponer ninguna. Por su parte, si sale impar al lanzar el dado se sacan dos bolas de la caja B, también una tras otra, sin reponer ninguna. ¿Cuál es la probabilidad de extraer exactamente dos bolas blancas?
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Sea kk una constante real y considere la matriz:A=(1040k3k+210−k)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & k & 3k + 2 \\ 1 & 0 & -k \end{pmatrix}
a
Estudie la existencia de inversa de la matriz AA según los diferentes valores de kk.1 pt
b
Si k=2k = 2, calcule la inversa de AA, si existe.1 pt
c
Determine el rango de la matriz AA según los diferentes valores de kk.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
a
Determine, como intersección de dos planos, la ecuación de la recta que es paralela a la recta:r:{2x−3y+z=4y+z=0r: \begin{cases} 2x - 3y + z = 4 \\ y + z = 0 \end{cases}y pasa por el punto P:(2,1,−1)P: (2, 1, -1).1,5 pts
b
Determine el ángulo que forman los dos planos siguientes:π:2x−3y+z=4\pi : 2x - 3y + z = 4π′:y+z=0\pi' : y + z = 00,5 pts
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Ejercicio 3

3
4 puntos
a
Determine los valores de "a" y "b" para que la función que aparece a continuación sea continua:f(x)={1/exsi x≤0acos⁡(x)+bsi 0<x≤πsen⁡(x)−axsi π<xf(x) = \begin{cases} 1/e^x & \text{si } x \leq 0 \\ a \cos(x) + b & \text{si } 0 < x \leq \pi \\ \sen(x) - ax & \text{si } \pi < x \end{cases}1 pt
b
Calcule la integral:∫x2(ln⁡x)2dx\int x^2 (\ln x)^2 dx1,5 pts
c
Determine el siguiente límite:lim⁡x→1(e(x−1)−1)(x−1)\lim_{x \rightarrow 1} (e^{(x - 1)} - 1)^{(x - 1)}1,5 pts
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Ejercicio 4

4
1 punto
En una clase de bachillerato, el 60% de los alumnos aprueban matemáticas, el 50% aprueban inglés y el 30% aprueban las dos asignaturas. Calcule la probabilidad de que un alumno elegido al azar:
a
Apruebe alguna de las dos asignaturas (una o las dos).0,5 pts
b
Apruebe Matemáticas sabiendo que ha aprobado inglés.0,5 pts
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