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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSLa RiojaPAU 2022Ordinaria

Matemáticas CCSS · La Rioja 2022

9 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El examen está distribuido en tres bloques, cada uno con 3 ejercicios. En total se debe contestar a 4 ejercicios, de dos maneras posibles: o bien se eligen dos bloques y se contesta a 2 de cada uno de ellos, o bien se contesta a 2 de un bloque y a 1 de cada bloque restante. Para evitar confusiones, se recomienda consignar claramente en la primera página de las hojas de respuestas a qué cuatro ejercicios se responde en el examen. Todos los ejercicios valen 2,5 puntos, y en la mayoría de ellos dicha puntuación se desglosa con más detalle. Todas las respuestas deben ser debidamente justificadas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean ni programables ni gráficas, y que no calculen integrales. El tiempo disponible para resolver el examen es de una hora y media.

Ejercicio 1 · bloque 1

1bloque 1
2,5 puntos
Bloque 1
¿Para qué valores de aa tiene soluciones el siguiente sistema?{x+y+2z=122x−y−z=122x+2y+az=12\begin{cases} x + y + 2z = 12 \\ 2x - y - z = 12 \\ 2x + 2y + az = 12 \end{cases}
a
¿Para qué valores de aa tiene soluciones el siguiente sistema?0,75 pts
b
Resuelve el sistema en el caso a=0a = 0.1,25 pts
c
Si para un valor aa el sistema es incompatible, y sustituimos los términos independientes (12,12,12)(12, 12, 12) por (12,12,24)(12, 12, 24), ¿cómo clasificaríamos el sistema resultante?0,5 pts
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Ejercicio 1 · bloque 2

1bloque 2
2,5 puntos
Bloque 2
Representa conjuntamente, en el intervalo de abscisas [2,3][2, 3], las gráficas de las funciones ff y gg dadas por f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x y g(x)=5−2xg(x) = 5 - 2x.
a
Representa conjuntamente, en el intervalo de abscisas [2,3][2, 3], las gráficas de las funciones ff y gg.1,5 pts
b
¿Qué punto aa hace que sea continua la funciónh(x)={f(x)si −2≤x<a,g(x)si a≤x≤3?h(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } -2 \leq x < a, \\ g(x) & \text{si } a \leq x \leq 3? \end{cases}Resalta la gráfica de hh en el dibujo anterior. ¿Cuáles son el máximo y el mínimo de los valores de hh en [−2,3][-2, 3]?1 pt
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Ejercicio 1 · bloque 3

1bloque 3
2,5 puntos
Bloque 3
En una casa hay tres llaveros: A,BA, B y CC, el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho. En cada llavero hay una única llave que abre la puerta del trastero. Se escoge al azar un llavero, y de él se toma a su vez una llave al azar. Entendemos que, cuando se escoge una cosa al azar entre varias, todas ellas tienen la misma probabilidad de ser la escogida. Se pide:
a
La probabilidad de que la llave elegida abra el trastero.1,25 pts
b
Si resulta que lo abre, la probabilidad de que sea del llavero AA.1,25 pts
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Ejercicio 2 · bloque 1

2bloque 1
2,5 puntos
Bloque 1
Justifica que la siguiente matriz es regular, y calcula su matriz inversa:(1−1−1−11−1−1−11)\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}
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Ejercicio 2 · bloque 2

2bloque 2
2,5 puntos
Bloque 2
La distancia que ha recorrido un coche hasta el instante tt, desde que arrancó en t=0t = 0, viene dada por la siguiente función e(t)e(t) entre t=1t = 1 y t=4t = 4:e(t)={120t+90si 1≤t<3,C−240t+150t2−20t3si 3≤t≤4.e(t) = \begin{cases} 120t + 90 & \text{si } 1 \leq t < 3, \\ C - 240t + 150t^2 - 20t^3 & \text{si } 3 \leq t \leq 4. \end{cases}En t=4t = 4 se para, de forma que e(t)=e(4)e(t) = e(4) para cada tt en (4,5](4, 5].
a
Calcula el valor de CC, considerando que e(t)e(t) define una función continua.0,75 pts
b
La velocidad en cada instante v(t)v(t) es la derivada del espacio recorrido, es decir v(t)=e′(t)v(t) = e'(t). Expresa cuánto vale dicha derivada en cada punto, e investiga si es una función continua en [1,5][1, 5]. ¿Cómo expresarías, en términos de la velocidad, que la gráfica de e(t)e(t) es recta en el intervalo [1,3][1, 3] y en el intervalo [4,5][4, 5]?1 pt
c
Calcula la distancia recorrida entre t=3t = 3 y t=4t = 4, es decir e(4)−e(3)e(4) - e(3). ¿Por qué es igual a ∫34v(t)dt\int_{3}^{4} v(t) dt?0,75 pts
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Ejercicio 2 · bloque 3

2bloque 3
2,5 puntos
Bloque 3
Una variable XX es normal de media 2525 y desviación típica 55, y otra YY es también normal, pero con media 2828 y desviación típica 11.
a
Calcula las probabilidades P(X>30)P(X > 30) y P(Y>30)P(Y > 30). ¿Cuál es mayor?1 pt
b
Tomamos una muestra de n=4n = 4 valores independientes de XX y anotamos su promedio Xˉ\bar{X}. Calcula P(Xˉ>30)P(\bar{X} > 30). ¿Cuál sería el resultado si n=9n = 9?1 pt
c
¿Cómo explicarías la comparación del resultado de (b) con el de (a), sin recurrir a fórmulas?0,5 pts
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Ejercicio 3 · bloque 1

3bloque 1
2,5 puntos
Bloque 1
Un orfebre emplea 2 horas para fabricar un anillo, y tarda 3 horas en hacer un brazalete. El material de cada anillo le cuesta 4040 €, y el del brazalete 320320 €. A cambio, por cada anillo gana 1010 € y por cada brazalete gana 9090 €. Si no quiere dedicar más de 50 horas a su trabajo semanal y no puede gastar en material más de 25602560 €, ¿cuántos anillos y brazaletes en una semana le reportarán el máximo beneficio?
a
¿Cuántos anillos y brazaletes en una semana le reportarán el máximo beneficio?1,75 pts
b
¿Cambiaría la respuesta si ya tuviera apalabrados ocho anillos? ¿Cuánto tiempo trabaja en total en ambos casos en la fabricación de anillos y brazaletes?0,75 pts
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Ejercicio 3 · bloque 2

3bloque 2
2,5 puntos
Bloque 2
Calcula el área de las dos regiones señaladas en el siguiente dibujo:
Gráfica de una parábola $y = 3x(x+2)$ y una recta $y = 3(x+2)$ con dos regiones sombreadas, una bajo el eje x y otra entre las dos funciones.
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Ejercicio 3 · bloque 3

3bloque 3
2,5 puntos
Bloque 3
Como ya sabe la cifra de asistentes, el ayuntamiento de Zaragoza ha asegurado que la duración de la ofrenda de flores del día del Pilar tendrá, en horas, una distribución de probabilidad normal con media 88 y desviación típica 2/5\sqrt{2}/5.
a
¿Puedes afirmar, con al menos un 95%95\% de probabilidad de acierto, que la duración de la ofrenda será inferior a ocho horas y media? ¿Podemos hacerlo con probabilidad mayor del 99%99\%?1,5 pts
b
Una variable normal estándar ZZ cumple que P(Z≤2,3263)=0,99P(Z \leq 2{,}3263) = 0{,}99. ¿Qué desviación típica (en lugar de la dada, y manteniendo la media de ocho horas) debería tener la duración de la ofrenda para que la probabilidad de ser menor que ocho horas y media fuera del 99%99\%?1 pt
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