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la cuevadel empollón
Matemáticas IIExtremaduraPAU 2014Extraordinaria

Matemáticas II · Extremadura 2014

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno elegirá una de las dos opciones propuestas. Cada una de las cuatro preguntas de la opción elegida puntuará como máximo 2'5 puntos. Cuando la solución de una cuestión se base en un cálculo, éste deberá incluirse en la respuesta dada.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sean las matrices:B=(10−10−10−101), C=(50−5011−5−15)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \ C = \begin{pmatrix} 5 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 1 \\ -5 & -1 & 5 \end{pmatrix}
a
Calcule la matriz A=3B2−CA = 3B^2 - C.1 pt
b
Halle la inversa A−1A^{-1} de la matriz AA.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Calcule el valor del parámetro kk para que la recta r:{x+y+z=0x−y−z=1r : \begin{cases} x + y + z = 0 \\ x - y - z = 1 \end{cases} sea paralela al plano Π\Pi de ecuación kx+y+kz=1kx + y + kz = 1.1,5 pts
b
Para el valor de kk obtenido en el apartado anterior, calcule la distancia de la recta rr al plano Π\Pi.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Estudie el dominio de definición, las asíntotas, los extremos relativos y los puntos de inflexión de la funciónf(x)=(x+1)3x2f(x) = \frac{(x + 1)^3}{x^2}1,75 pts
b
Represente la función f(x)f(x) anterior utilizando los datos obtenidos en el apartado (a).0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Calcule la siguiente integral definida de una función racional:∫2e+1x−2x2−3x+2dx\int_{2}^{e + 1} \frac{x - 2}{x^2 - 3x + 2} dx
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere el sistema compatible determinado de dos ecuaciones con dos incógnitas {x+y=1x−y=3≡S\begin{cases} x + y = 1 \\ x - y = 3 \end{cases} \equiv \mathcal{S}, cuya solución es el punto P0=(2,−1)P_0 = (2, -1) de R2\mathbb{R}^2. Sea S′\mathcal{S}' el sistema que se obtiene al añadir a S\mathcal{S} una tercera ecuación ax+by=cax + by = c. Conteste razonadamente las siguientes preguntas:
a
¿Puede ser S′\mathcal{S}' compatible determinado?0,75 pts
b
¿Puede ser S′\mathcal{S}' incompatible?0,75 pts
c
¿Puede ser S′\mathcal{S}' compatible indeterminado?1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
En R3\mathbb{R}^3, considere los cuatro puntos A=(0,1,1)A = (0, 1, 1), B=(−2,0,−1)B = (-2, 0, -1), C=(−1,1,0)C = (-1, 1, 0) y D=(−2,2,1)D = (-2, 2, 1), y sea rr la recta que pasa por CC y por DD.
a
Obtenga ecuaciones paramétricas de rr.1 pt
b
Halle los puntos PP de la recta rr para los que el triángulo APBAPB sea rectángulo en su vértice PP.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Enuncie el teorema del valor medio de Lagrange.1 pt
b
Aplicando el anterior teorema a la función f(x)=sen⁡xf(x) = \sen x, pruebe que cualesquiera que sean los números reales a<ba < b se cumple la desigualdad sen⁡b−sen⁡a≤b−a\sen b - \sen a \leq b - a.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Dibuje el recinto plano limitado por la parábola y=x2−2y = x^2 - 2 y la recta y=xy = x.1 pt
b
Calcule el área de dicho recinto plano.1,5 pts
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