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la cuevadel empollón
Matemáticas IIExtremaduraPAU 2014Extraordinaria

Matemáticas II · Extremadura 2014

8 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Sean las matrices: B=(10−10−10−101), C=(50−5011−5−15)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \ C = \begin{pmatrix} 5 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 1 \\ -5 & -1 & 5 \end{pmatrix}
a)1 pts
Calcule la matriz A=3B2−CA = 3B^2 - C.
b)1,5 pts
Halle la inversa A−1A^{-1} de la matriz AA.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Considere el sistema compatible determinado de dos ecuaciones con dos incógnitas {x+y=1x−y=3≡S\begin{cases} x + y = 1 \\ x - y = 3 \end{cases} \equiv \mathcal{S}, cuya solución es el punto P0=(2,−1)P_0 = (2, -1) de R2\mathbb{R}^2. Sea S′\mathcal{S}' el sistema que se obtiene al añadir a S\mathcal{S} una tercera ecuación ax+by=cax + by = c. Conteste razonadamente las siguientes preguntas:
a)0,75 pts
¿Puede ser S′\mathcal{S}' compatible determinado?
b)0,75 pts
¿Puede ser S′\mathcal{S}' incompatible?
c)1 pts
¿Puede ser S′\mathcal{S}' compatible indeterminado?
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
a)1,5 pts
Calcule el valor del parámetro kk para que la recta r:{x+y+z=0x−y−z=1r : \begin{cases} x + y + z = 0 \\ x - y - z = 1 \end{cases} sea paralela al plano Π\Pi de ecuación kx+y+kz=1kx + y + kz = 1.
b)1 pts
Para el valor de kk obtenido en el apartado anterior, calcule la distancia de la recta rr al plano Π\Pi.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
En R3\mathbb{R}^3, considere los cuatro puntos A=(0,1,1)A = (0, 1, 1), B=(−2,0,−1)B = (-2, 0, -1), C=(−1,1,0)C = (-1, 1, 0) y D=(−2,2,1)D = (-2, 2, 1), y sea rr la recta que pasa por CC y por DD.
a)1 pts
Obtenga ecuaciones paramétricas de rr.
b)1,5 pts
Halle los puntos PP de la recta rr para los que el triángulo APBAPB sea rectángulo en su vértice PP.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
a)1,75 pts
Estudie el dominio de definición, las asíntotas, los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función f(x)=(x+1)3x2f(x) = \frac{(x + 1)^3}{x^2}
b)0,75 pts
Represente la función f(x)f(x) anterior utilizando los datos obtenidos en el apartado (a).
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
a)1 pts
Enuncie el teorema del valor medio de Lagrange.
b)1,5 pts
Aplicando el anterior teorema a la función f(x)=sen⁡xf(x) = \sen x, pruebe que cualesquiera que sean los números reales a<ba < b se cumple la desigualdad sen⁡b−sen⁡a≤b−a\sen b - \sen a \leq b - a.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Calcule la siguiente integral definida de una función racional: ∫2e+1x−2x2−3x+2dx\int_{2}^{e + 1} \frac{x - 2}{x^2 - 3x + 2} dx
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
a)1 pts
Dibuje el recinto plano limitado por la parábola y=x2−2y = x^2 - 2 y la recta y=xy = x.
b)1,5 pts
Calcule el área de dicho recinto plano.
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