Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2016Extraordinaria

Matemáticas II · Galicia 2016

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno/a debe responder solo los ejercicios de una de las dos opciones. Puntuación máxima de los ejercicios de cada opción: ejercicio 1 = 3 puntos, ejercicio 2 = 3 puntos, ejercicio 3 = 2 puntos, ejercicio 4 = 2 puntos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Dada la matriz A=(a−10a−21a−1a−1a0)A = \begin{pmatrix} a-1 & 0 & a-2 \\ 1 & a-1 & a \\ -1 & a & 0 \end{pmatrix}
a
Calcula, según los valores de aa, el rango de AA. Calcula, si existe, la inversa de AA cuando a=0a = 0.
b
Para a=1a = 1, calcula la matriz BB que verifica ABA−1−A=2IABA^{-1} - A = 2I.
c
Para a=1a = 1, calcula todas las matrices X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} tales que AX=(000)AX = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
3 puntos
Dados los planos π1:3x+3z−8=0\pi_1: 3x + 3z - 8 = 0 y π2:{x=52+λ−μy=−λ+μz=3+2λ+μ\pi_2: \begin{cases} x = \frac{5}{2} + \lambda - \mu \\ y = -\lambda + \mu \\ z = 3 + 2\lambda + \mu \end{cases}
a
Calcula el ángulo que forman π1\pi_1 y π2\pi_2. Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por P(1,1,1)P(1, 1, 1) y es paralela a π1\pi_1 y π2\pi_2.
b
Calcula el punto simétrico del P(1,1,1)P(1, 1, 1) respecto del plano π1\pi_1.
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2 puntos
a
Definición e interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto.
b
De una función f(x)f(x) sabemos que f(−1)=1f(-1) = 1 y que su función derivada es f′(x)={2x−1si x<0e2x−2si x≥0f'(x) = \begin{cases} 2x - 1 & \text{si } x < 0 \\ e^{2x} - 2 & \text{si } x \geq 0 \end{cases} Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f(x)f(x) en los puntos de abscisa: x=−2x = -2 y x=ln⁡22x = \frac{\ln 2}{2}.
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2 puntos
Dibuja y calcula el área de la región limitada por la gráfica de la parábola y=x(x−2)y = x(x - 2), el eje de abscisas y la recta y=xy = x. (Nota: para el dibujo de la gráfica de la parábola, indica los puntos de corte con los ejes, el vértice y la concavidad o convexidad).
Ver este ejercicio

Ejercicio 1

1
3 puntos
a
Discute, según los valores de mm, el sistema: {x+y+z=14x+my+3z=m2x+3y+z=3\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 4x + my + 3z = m \\ 2x + 3y + z = 3 \end{cases}
b
Resuélvelo cuando m=5m = 5.
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
3 puntos
Dadas las rectas r:x−34=y−2−1=z−13r: \frac{x - 3}{4} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{3} y s:{3x+2y−6=02y+4z+3=0s: \begin{cases} 3x + 2y - 6 = 0 \\ 2y + 4z + 3 = 0 \end{cases}
a
Estudia su posición relativa.
b
Calcula la ecuación implícita o general del plano que contiene a rr y es paralelo a ss.
c
Calcula la distancia entre rr y ss.
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2 puntos
Dibuja la gráfica de f(x)=1+2(x−2)2f(x) = 1 + \frac{2}{(x - 2)^2} estudiando: dominio, simetrías, puntos de corte con los ejes, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos, puntos de inflexión e intervalos de concavidad y convexidad.
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2 puntos
a
Enuncia el teorema fundamental del cálculo integral. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función F(x)=∫0xt2+62+etdtF(x) = \int_{0}^{x} \frac{t^2 + 6}{2 + e^t} dt, en el punto de abscisa x=0x = 0.
b
Calcula ∫01xln⁡(1+x)dx\int_{0}^{1} x \ln(1 + x) dx.
Ver este ejercicio