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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2016Ordinaria

Matemáticas II · Galicia 2016

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumno/a debe responder solo los ejercicios de una de las dos opciones. Puntuación máxima de los ejercicios de cada opción: ejercicio 1= 3 puntos, ejercicio 2= 3 puntos, ejercicio 3= 2 puntos, ejercicio 4= 2 puntos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
a
Calcula todas las matrices A=(0aab)A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ a & b \end{pmatrix} de rango 2 tales que su inversa sea A−2IA - 2I, es decir, A−1=A−2IA^{-1} = A - 2I, siendo II la matriz unidad de orden 2.1,5 pts
b
Dada la matriz M=(m+2−1m+10m+10−1−2m+1)M = \begin{pmatrix} m + 2 & -1 & m + 1 \\ 0 & m + 1 & 0 \\ -1 & -2 & m + 1 \end{pmatrix}:1,5 pts
b.1
Calcula, según los valores de mm, el rango de MM.0,75 pts
b.2
Para m=−1m = -1, calcula todas las matrices X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} tales que MX=(000)MX = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
a
Calcula el valor de mm para que los puntos A(m,−1,m)A(m, -1, m), B(1,−5,−1)B(1, -5, -1), C(3,1,0)C(3, 1, 0) y D(2,−1,0)D(2, -1, 0) estén en un mismo plano. Calcula la ecuación implícita o general de ese plano.1 pt
b
Calcula el ángulo que forman el plano π:2x−y+2z−5=0\pi: 2x - y + 2z - 5 = 0 y la recta rr que pasa por los puntos P(3,−4,−7)P(3, -4, -7) y Q(1,−3,−9)Q(1, -3, -9).1 pt
c
Calcula los puntos de la recta rr del apartado anterior que distan 9 unidades del plano π\pi.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
a
Definición e interpretación geométrica del teorema del valor medio del cálculo diferencial.1 pt
b
Calcula los límites siguientes:1 pt
b.1
lim⁡x→1x−1x−2−x\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{x - \sqrt{2 - x}}0,5 pts
b.2
lim⁡x→0x−ln⁡(1+x)xln⁡(1+x)\lim_{x \to 0} \frac{x - \ln(1 + x)}{x \ln(1 + x)}0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
De una función f(x)f(x) se conoce su función derivada f′(x)=1−ln⁡xx2f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}.
a
Determina la función f(x)f(x) sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1,0)(1, 0).1 pt
b
Determina los intervalos de concavidad y convexidad de f(x)f(x).1 pt
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Ejercicio 1

1
3 puntos
a
Discute, según los valores del parámetro mm, el sistema:{mx+3y+4z=mx−4y−5z=0x−3y−4z=0\begin{cases} mx + 3y + 4z = m \\ x - 4y - 5z = 0 \\ x - 3y - 4z = 0 \end{cases}2 pts
b
Resuélvelo cuando m=0m = 0 y cuando m=1m = 1.1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dada la recta r:{x−y+2=0x+y−z−2=0r: \begin{cases} x - y + 2 = 0 \\ x + y - z - 2 = 0 \end{cases}:
a
Calcula la ecuación implícita o general del plano π\pi que pasa por el punto P(2,5,−2)P(2, 5, -2) y es perpendicular a la recta rr.1 pt
b
Estudia la posición relativa de la recta rr y la recta ss que pasa por los puntos P(2,5,−2)P(2, 5, -2) y Q(−1,4,2)Q(-1, 4, 2).1 pt
c
Calcula el punto de la recta rr que equidista de los puntos P(2,5,−2)P(2, 5, -2) y Q(−1,4,2)Q(-1, 4, 2).1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
a
Enunciado e interpretación geométrica del teorema de Rolle.1 pt
b
Sea f(x)=2x+52ln⁡(1+x2)f(x) = 2x + \frac{5}{2} \ln(1 + x^2). Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x)f(x) en el punto correspondiente a x=0x = 0. Determina, si existen, los máximos y mínimos relativos de f(x)f(x).1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Sea f(x)={ax+2si x<13(x−2)2si x≥1f(x) = \begin{cases} ax + 2 & \text{si } x < 1 \\ 3(x - 2)^2 & \text{si } x \geq 1 \end{cases}
a
¿Es f(x)f(x) derivable en x=1x = 1 para algún valor de aa?1 pt
b
Para a=1a = 1, calcula el área de la región limitada por la gráfica de f(x)f(x) y el eje OXOX.1 pt
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