Matemáticas II · Galicia 2016

Calcula todas las matrices $A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ a & b \end{pmatrix}$ de rango 2 tales que su inversa sea $A - 2I$, es decir, $A^{-1} = A - 2I$, siendo $I$ la matriz unidad de orden 2.

Dada la matriz $M = \begin{pmatrix} m + 2 & -1 & m + 1 \\ 0 & m + 1 & 0 \\ -1 & -2 & m + 1 \end{pmatrix}$:

Discute, según los valores del parámetro $m$, el sistema: $$\begin{cases} mx + 3y + 4z = m \\ x - 4y - 5z = 0 \\ x - 3y - 4z = 0 \end{cases}$$

Resuélvelo cuando $m = 0$ y cuando $m = 1$.

Calcula el valor de $m$ para que los puntos $A(m, -1, m)$, $B(1, -5, -1)$, $C(3, 1, 0)$ y $D(2, -1, 0)$ estén en un mismo plano. Calcula la ecuación implícita o general de ese plano.

Calcula el ángulo que forman el plano $\pi: 2x - y + 2z - 5 = 0$ y la recta $r$ que pasa por los puntos $P(3, -4, -7)$ y $Q(1, -3, -9)$.

Calcula los puntos de la recta $r$ del apartado anterior que distan 9 unidades del plano $\pi$.

Calcula la ecuación implícita o general del plano $\pi$ que pasa por el punto $P(2, 5, -2)$ y es perpendicular a la recta $r$.

Estudia la posición relativa de la recta $r$ y la recta $s$ que pasa por los puntos $P(2, 5, -2)$ y $Q(-1, 4, 2)$.

Calcula el punto de la recta $r$ que equidista de los puntos $P(2, 5, -2)$ y $Q(-1, 4, 2)$.

Definición e interpretación geométrica del teorema del valor medio del cálculo diferencial.

Calcula los límites siguientes:

Enunciado e interpretación geométrica del teorema de Rolle.

Sea $f(x) = 2x + \frac{5}{2} \ln(1 + x^2)$. Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto correspondiente a $x = 0$. Determina, si existen, los máximos y mínimos relativos de $f(x)$.

Determina la función $f(x)$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $(1, 0)$.

Determina los intervalos de concavidad y convexidad de $f(x)$.

¿Es $f(x)$ derivable en $x = 1$ para algún valor de $a$?

Para $a = 1$, calcula el área de la región limitada por la gráfica de $f(x)$ y el eje $OX$.