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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSBalearesPAU 2020Ordinaria

Matemáticas CCSS · Baleares 2020

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Contestad de manera clara y razonada cuatro cuestiones cualesquiera, escogidas de entre todas las propuestas en las opciones A y B conjuntamente. Se dispone de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total entre 4. Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo. Podéis utilizar calculadora de cualquier tipo, científica, gráfica o programable, pero no se autorizará el uso de las que lleven información almacenada o puedan transmitirla.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
10 puntos
Dado el sistema siguiente:{x+(a+1)y=1ax+2y=−2\begin{cases} x + (a + 1) y = 1 \\ a x + 2 y = - 2 \end{cases}
a
Discutid el sistema en función del parámetro aa.6 pts
b
Resolvedlo para a=−2a = -2.4 pts
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
10 puntos
Un trayecto de 600 km se ha de hacer combinando taxi, ferrocarril y autobús. El coste del taxi es de 0,50{,}5 euros/km; el del ferrocarril, de 0,20{,}2 euros/km, y el del autobús, de 0,10{,}1 euros/km. El recorrido nos ha costado 150 euros, y se sabe que se han hecho el doble de kilómetros con ferrocarril que con taxi y autobús juntos. Determinad las distancias que se han recorrido con cada medio de transporte.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
10 puntos
En una empresa se pueden producir hasta 500 mesas cada mes. La función de costes en relación con el número qq de mesas producidas esC(q)=q350+8q+40C(q) = \frac{q^3}{50} + 8q + 40Si qq es el número de mesas producidas, el coste medio de cada mesa se expresa mediante la funciónQ(q)=C(q)qQ(q) = \frac{C(q)}{q}
a
Calculad el coste medio de cada mesa, si la empresa produce 5. ¿Y si produce 20?3 pts
b
Determinad cuántas mesas hay que producir para que el coste medio sea mínimo. Justificad que se trata efectivamente de un mínimo y calculad este coste medio.7 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
10 puntos
Un pastelero dispone de 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 26 kg de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles, A y B. Para hacer una hornada de pasteles del tipo A se necesitan 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla, mientras que para hacer una hornada de pasteles del tipo B se necesitan 6 kg de harina, 0,50{,}5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla. Se sabe que el beneficio que se obtiene al vender una hornada del tipo A es de 20 euros y, de 30 euros al vender una hornada del tipo B.
a
Plantead la maximización del beneficio del pastelero como un problema de programación lineal.4 pts
b
Dibujad la región factible para la solución, indicando las rectas y vértices que la delimitan.4 pts
c
Determinad cuántas hornadas de cada tipo ha de hacer y vender el pastelero para maximizar sus beneficios. Determinad también este beneficio máximo.2 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
10 puntos
Dadas las funciones f(x)=−x2+5f(x) = -x^2 + 5 y g(x)=x2−ag(x) = x^2 - a, donde a∈Ra \in \mathbb{R}.
a
Hallad todos los posibles valores de aa para que f(x)f(x) y g(x)g(x) se intersequen.3 pts
b
Para a=3a = 3, dibujad el recinto cerrado entre los gráficos de f(x)f(x) y g(x)g(x), identificando los puntos de intersección.3 pts
c
Para a=3a = 3, calculad el área de este recinto interior.4 pts
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
10 puntos
Consideramos una función f(x)f(x) tal que su primera derivada es f′(x)=x3+bx+4f'(x) = x^3 + bx + 4, donde bb es un parámetro real.
a
Determinad el valor de bb para que f(x)f(x) tenga un extremo relativo en x=−1x = -1 y razonad si se trata de un máximo o de un mínimo.4 pts
b
Suponiendo que b=1b = 1, hallad una primitiva de f′(x)f'(x), i.e, ∫f′(x)dx\int f'(x) dx.3 pts
c
Utilizad la primitiva anterior para hallar f(x)f(x) para b=1b = 1 sabiendo que f(2)=−1f(2) = -1.3 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
10 puntos
En una muestra aleatoria de 256 individuos se ha obtenido una edad media de 17,417{,}4 años. Se sabe que la desviación típica de la población normal de la cual procede esta muestra es de 2 años.
a
Obtened un intervalo de confianza al 95 % para la edad media de la población.5 pts
b
¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra que se debe tomar para que al estimar la edad media con un nivel de confianza del 99%, el error cometido sea inferior a 0,50{,}5 años?5 pts
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
10 puntos
Una almazara recibe cajas de aceitunas de dos productoras, A y B, que cultivan dos variedades, picual y arbequina. El 40% de las aceitunas proviene de la productora A, de estas el 60 % es de la variedad picual. De las que provienen de la productora B, el 30 % es de la variedad arbequina. Se elige una caja de aceitunas al azar.
a
Interpretad los datos proporcionados en términos de sucesos, probabilidades y probabilidades condicionadas.2 pts
b
¿Cuál es la probabilidad de que sea de la variedad picual?4 pts
c
Si se sabe que es de la variedad picual, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la productora A?4 pts
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