Matemáticas II · Extremadura 2017

Considere las matrices $$A = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad O = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Sean en $\mathbb{R}^3$ los vectores $\vec{e} = (0, 1, 0)$, $\vec{u} = (3, -2, 2)$ y $\vec{v} = (0, 1, 1)$.

En $\mathbb{R}^3$ se consideran las rectas de ecuaciones: $$r: \begin{cases} 3x + 2y = 0 \\ x - 2z = -8 \end{cases}, \quad \quad s: \frac{x + 1}{-2} = \frac{y - 3}{a} = \frac{z - 1}{-1}$$

Calcule, aplicando la regla de l'Hôpital, el límite $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sen(2x) + (1 - x)^2 - 1}{\ln(\cos x)}$$

Utilizando el cambio de variable $1 + x^2 = t^2$, calcule una primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = \frac{x^3}{\sqrt{1 + x^2}}$ que cumpla $F(0) = 0$.

En una población se sabe que el $80\%$ de los jóvenes tiene ordenador portátil, el $60\%$ tiene teléfono móvil, y el $10\%$ no tiene portátil ni móvil. Si un joven de esa población tiene teléfono móvil, calcule la probabilidad de que dicho joven tenga también ordenador portátil.

Una asociación deportiva tiene $1000$ socios, el $40\%$ de ellos mujeres. Están repartidos en tres secciones y cada socio sólo pertenece a una sección. En la sección de baloncesto hay $400$ socios, $120$ de ellos mujeres, en la de natación hay $350$ socios, $180$ de ellos mujeres, y en la de tenis están el resto de los socios. Calcule la probabilidad de que un socio seleccionado al azar sea varón y de la sección de tenis.