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la cuevadel empollón
Matemáticas IIExtremaduraPAU 2017Ordinaria

Matemáticas II · Extremadura 2017

5 ejercicios

Instrucciones

La prueba consta de dos opciones, A y B, de las cuales el alumno deberá elegir una. Cada opción consta de 5 ejercicios. En el caso de realizar ejercicios de opciones diferentes, se considerará como elegida la correspondiente al primer ejercicio presentado por el alumno. Cuando la solución de una cuestión se base en un cálculo, éste deberá incluirse en la respuesta dada.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Estudie cómo es el sistema de ecuaciones:{3x−5z=33x−3y+2z=02x−y−z=1\begin{cases} 3x - 5z = 3 \\ 3x - 3y + 2z = 0 \\ 2x - y - z = 1 \end{cases}1,5 pts
b
Resuelva el anterior sistema de ecuaciones.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sean en R3\mathbb{R}^3 los vectores e⃗=(0,1,0)\vec{e} = (0, 1, 0), u⃗=(3,−2,2)\vec{u} = (3, -2, 2) y v⃗=(0,1,1)\vec{v} = (0, 1, 1).
a
Calcule el producto vectorial e⃗×u⃗\vec{e} \times \vec{u}.0,75 pts
b
Calcule el ángulo ϕ\phi que forman u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}.0,75 pts
c
Demuestre que la familia de vectores {e⃗,u⃗,v⃗}\{\vec{e}, \vec{u}, \vec{v}\} es linealmente independiente.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
a
Estudie el dominio de definición, los extremos relativos y las asíntotas de la funciónf(x)=x+1x=x2+1xf(x) = x + \frac{1}{x} = \frac{x^2 + 1}{x}1,5 pts
b
Teniendo en cuenta los datos obtenidos en el apartado anterior, represente, aproximadamente, la gráfica de la función f(x)f(x).0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Utilizando el cambio de variable 1+x2=t21 + x^2 = t^2, calcule una primitiva F(x)F(x) de la función f(x)=x31+x2f(x) = \frac{x^3}{\sqrt{1 + x^2}} que cumpla F(0)=0F(0) = 0.
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Ejercicio 5

5
1 punto
En una población se sabe que el 80%80\% de los jóvenes tiene ordenador portátil, el 60%60\% tiene teléfono móvil, y el 10%10\% no tiene portátil ni móvil. Si un joven de esa población tiene teléfono móvil, calcule la probabilidad de que dicho joven tenga también ordenador portátil.
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere las matricesA=(1−1),B=(1−2),X=(xy),O=(00)A = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad O = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
a
Obtenga la matriz A⋅BA \cdot B y calcule su rango.1,25 pts
b
Clasifique y resuelva el sistema de ecuaciones A⋅B⋅X=OA \cdot B \cdot X = O.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
En R3\mathbb{R}^3 se consideran las rectas de ecuaciones:r:{3x+2y=0x−2z=−8,s:x+1−2=y−3a=z−1−1r: \begin{cases} 3x + 2y = 0 \\ x - 2z = -8 \end{cases}, \quad \quad s: \frac{x + 1}{-2} = \frac{y - 3}{a} = \frac{z - 1}{-1}
a
Halle el valor de aa para que rr y ss sean paralelas.1 pt
b
Para el valor de aa obtenido en el anterior apartado, calcule la distancia entre las rectas rr y ss.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcule, aplicando la regla de l'Hôpital, el límitelim⁡x→0sen⁡(2x)+(1−x)2−1ln⁡(cos⁡x)\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sen(2x) + (1 - x)^2 - 1}{\ln(\cos x)}
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Ejercicio 4

4
2 puntos
a
Calcule los puntos en los que las dos curvas y=ex,y=−x2y = e^x, y = -x^2 cortan a la recta x=0x = 0 y a la recta x=1x = 1.0,5 pts
b
Calcule el área de la región plana limitada por las curvas y=ex,y=−x2y = e^x, y = -x^2, y por las rectas x=0,x=1x = 0, x = 1.1,5 pts
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Ejercicio 5

5
1 punto
Una asociación deportiva tiene 10001000 socios, el 40%40\% de ellos mujeres. Están repartidos en tres secciones y cada socio sólo pertenece a una sección. En la sección de baloncesto hay 400400 socios, 120120 de ellos mujeres, en la de natación hay 350350 socios, 180180 de ellos mujeres, y en la de tenis están el resto de los socios. Calcule la probabilidad de que un socio seleccionado al azar sea varón y de la sección de tenis.
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