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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2010Ordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2010

6 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
10 puntos
Dadas las matrices cuadradas I=(100010001)yA=(211232−3−3−2),I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ -3 & -3 & -2 \end{pmatrix}, se pide:
a)4 pts
Calcular las matrices (A−I)2(A - I)^2 y A(A−2I)A(A - 2I).
b)4 pts
Justificar razonadamente que:
b.1)2 pts
Existen las matrices inversas de las matrices AA y A−2IA - 2I.
b.2)2 pts
No existe matriz inversa de la matriz A−IA - I.
c)2 pts
Determinar el valor del parámetro real λ\lambda para el que se verifica A−1=λ(A−2I)A^{-1} = \lambda(A - 2I).
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
10 puntos
Dado el sistema de ecuaciones lineales que depende de los parámetros aa, bb y cc {2ax+by+z=3c3x−2by−2cz=a5ax−2y+cz=−4b,\begin{cases} 2ax + by + z = 3c \\ 3x - 2by - 2cz = a \\ 5ax - 2y + cz = -4b \end{cases}, se pide:
a)3 pts
Justificar razonadamente que para los valores de los parámetros a=0a = 0, b=−1b = -1 y c=2c = 2 el sistema es incompatible.
b)4 pts
Determinar razonadamente los valores de los parámetros aa, bb y cc, para los que se verifica que (x,y,z)=(1,2,3)(x, y, z) = (1, 2, 3) es solución del sistema.
c)3 pts
Justificar si la solución (x,y,z)=(1,2,3)(x, y, z) = (1, 2, 3) del sistema del apartado b) es, o no, única.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
10 puntos
Dadas las rectas de ecuaciones r={5x+y−z=42x−2y−z=−5ys={x−y=−5z=4,r = \begin{cases} 5x + y - z = 4 \\ 2x - 2y - z = -5 \end{cases} \quad \text{y} \quad s = \begin{cases} x - y = -5 \\ z = 4 \end{cases}, se pide:
a)4 pts
Justificar que las rectas rr y ss se cruzan.
b)3 pts
Calcular razonadamente la distancia entre las rectas rr y ss.
c)3 pts
Determinar la ecuación del plano π\pi que es paralelo y equidistante a las rectas rr y ss.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
10 puntos
Sea rr la recta de vector director (−1,1,2)(-1, 1, 2) que pasa por el punto P=(−1,3,0)P = (-1, 3, 0). Se pide:
a)4 pts
Hallar razonadamente la distancia del punto A=(0,1,0)A = (0, 1, 0) a la recta rr.
b)4 pts
Calcular razonadamente el ángulo que forma la recta que pasa por los puntos PP y AA con la recta rr en el punto PP.
c)2 pts
Si QQ es el punto donde la recta rr corta al plano de ecuación z=0z = 0, comprobar que el triángulo de vértices APQAPQ tiene ángulos iguales en los vértices PP y QQ.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
10 puntos
Se quiere construir un estadio vallado de 1000010000 metros cuadrados de superficie. El estadio está formado por un rectángulo de base xx y dos semicírculos exteriores de diámetro xx, de manera que cada lado horizontal del rectángulo es diámetro de uno de los semicírculos. El precio de un metro de valla para los lados verticales del rectángulo es de 11 euro y el precio de un metro de valla para las semicircunferencias es de 22 euros. Se pide obtener razonadamente:
a)3 pts
La longitud del perímetro del campo en función de xx.
b)3 pts
El coste f(x)f(x) de la valla en función de xx.
c)4 pts
El valor de xx para el que el coste de la valla es mínimo.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
10 puntos
Dada la función polinómica f(x)=4−x2f(x) = 4 - x^2, se pide obtener razonadamente:
a)2 pts
La gráfica de la curva y=4−x2y = 4 - x^2.
b)3 pts
El punto PP de esa curva cuya tangente es perpendicular a la recta de ecuación x+y=0x + y = 0.
c)5 pts
Las rectas que pasan por el punto (−1,2)(-1, 2) y son tangentes a la curva y=4−x2y = 4 - x^2, obteniendo los puntos de tangencia.
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