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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2010Ordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2010

3 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Se elegirá solo UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa opción. Cada problema se puntuará hasta 10 puntos. La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a las centésimas. Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica. Se prohíbe su utilización indebida (guardar fórmulas o texto en memoria). Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
Dadas las matrices cuadradasI=(100010001)yA=(211232−3−3−2),I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ -3 & -3 & -2 \end{pmatrix},se pide:
a
Calcular las matrices (A−I)2(A - I)^2 y A(A−2I)A(A - 2I).4 pts
b
Justificar razonadamente que:4 pts
b.1
Existen las matrices inversas de las matrices AA y A−2IA - 2I.2 pts
b.2
No existe matriz inversa de la matriz A−IA - I.2 pts
c
Determinar el valor del parámetro real λ\lambda para el que se verifica A−1=λ(A−2I)A^{-1} = \lambda(A - 2I).2 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Dadas las rectas de ecuacionesr={5x+y−z=42x−2y−z=−5ys={x−y=−5z=4,r = \begin{cases} 5x + y - z = 4 \\ 2x - 2y - z = -5 \end{cases} \quad \text{y} \quad s = \begin{cases} x - y = -5 \\ z = 4 \end{cases},se pide:
a
Justificar que las rectas rr y ss se cruzan.4 pts
b
Calcular razonadamente la distancia entre las rectas rr y ss.3 pts
c
Determinar la ecuación del plano π\pi que es paralelo y equidistante a las rectas rr y ss.3 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Se quiere construir un estadio vallado de 1000010000 metros cuadrados de superficie. El estadio está formado por un rectángulo de base xx y dos semicírculos exteriores de diámetro xx, de manera que cada lado horizontal del rectángulo es diámetro de uno de los semicírculos. El precio de un metro de valla para los lados verticales del rectángulo es de 11 euro y el precio de un metro de valla para las semicircunferencias es de 22 euros. Se pide obtener razonadamente:
a
La longitud del perímetro del campo en función de xx.3 pts
b
El coste f(x)f(x) de la valla en función de xx.3 pts
c
El valor de xx para el que el coste de la valla es mínimo.4 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Dado el sistema de ecuaciones lineales que depende de los parámetros aa, bb y cc{2ax+by+z=3c3x−2by−2cz=a5ax−2y+cz=−4b,\begin{cases} 2ax + by + z = 3c \\ 3x - 2by - 2cz = a \\ 5ax - 2y + cz = -4b \end{cases},se pide:
a
Justificar razonadamente que para los valores de los parámetros a=0a = 0, b=−1b = -1 y c=2c = 2 el sistema es incompatible.3 pts
b
Determinar razonadamente los valores de los parámetros aa, bb y cc, para los que se verifica que (x,y,z)=(1,2,3)(x, y, z) = (1, 2, 3) es solución del sistema.4 pts
c
Justificar si la solución (x,y,z)=(1,2,3)(x, y, z) = (1, 2, 3) del sistema del apartado b) es, o no, única.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Sea rr la recta de vector director (−1,1,2)(-1, 1, 2) que pasa por el punto P=(−1,3,0)P = (-1, 3, 0). Se pide:
a
Hallar razonadamente la distancia del punto A=(0,1,0)A = (0, 1, 0) a la recta rr.4 pts
b
Calcular razonadamente el ángulo que forma la recta que pasa por los puntos PP y AA con la recta rr en el punto PP.4 pts
c
Si QQ es el punto donde la recta rr corta al plano de ecuación z=0z = 0, comprobar que el triángulo de vértices APQAPQ tiene ángulos iguales en los vértices PP y QQ.2 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Dada la función polinómica f(x)=4−x2f(x) = 4 - x^2, se pide obtener razonadamente:
a
La gráfica de la curva y=4−x2y = 4 - x^2.2 pts
b
El punto PP de esa curva cuya tangente es perpendicular a la recta de ecuación x+y=0x + y = 0.3 pts
c
Las rectas que pasan por el punto (−1,2)(-1, 2) y son tangentes a la curva y=4−x2y = 4 - x^2, obteniendo los puntos de tangencia.5 pts
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