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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2021Extraordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2021

6 ejercicios

Ejercicio 1

1
10 puntos
Se da el sistema de ecuaciones {2x−y+z=mx+y+3z=05x−4y+mz=m\begin{cases} 2x - y + z = m \\ x + y + 3z = 0 \\ 5x - 4y + mz = m \end{cases} donde mm es un parámetro real. Se pide:
a)4 pts
La discusión del sistema de ecuaciones en función del parámetro mm.
b)3 pts
La solución del sistema cuando m=1m = 1.
c)3 pts
Las soluciones del sistema en el caso en que sea compatible indeterminado.
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Se dan las rectas r:{x+y−1=02x−z−1=0r: \begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ 2x - z - 1 = 0 \end{cases}, s:x−11=y−1=z2s: \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{2} y el plano π:x+my+z=2\pi: x + my + z = 2 que depende del parámetro real mm. Obtened:
a)4 pts
La posición relativa de las rectas rr y ss.
b)3 pts
El valor del parámetro mm para que la recta ss esté contenida en el plano π\pi.
c)3 pts
Los puntos A,B,CA, B, C intersección del plano π\pi con los ejes de coordenadas cuando m=2m = 2, así como el volumen del tetraedro de vértices A,B,CA, B, C y P(2,2,2)P(2, 2, 2).
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Dada la función f(x)=xe1−x2f(x) = x e^{1 - x^2}, calculad:
a)4 pts
El dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos.
b)3 pts
Las asíntotas y la gráfica de ff.
c)3 pts
La integral ∫f(x)dx\int f(x) dx.
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Se dan las matrices A=(123−1a11a2−23)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & a & 1 \\ 1 & a^2 - 2 & 3 \end{pmatrix} y B=(1−12)(123)B = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}. Obtened:
a)3 pts
El rango de la matriz AA según los valores del parámetro aa.
b)4 pts
Una matriz CC tal que AC=16IAC = 16I, siendo II la matriz identidad, cuando a=0a = 0.
c)3 pts
El rango de la matriz BB y la discusión de si el sistema B(xyz)=(1−12)B \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} tiene solución.
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Ejercicio 5

5
10 puntos
Dados los puntos P(1,1,0)P(1, 1, 0), Q(2,−1,1)Q(2, -1, 1) y R(α,3,−1)R(\alpha, 3, -1) se pide:
a)3 pts
La ecuación del plano que contiene a P,QP, Q y RR cuando α=1\alpha = 1 y la distancia de dicho plano al origen de coordenadas.
b)4 pts
La ecuación de la recta rr que pasa por RR cuando α=1\alpha = 1 y es paralela a la recta ss que pasa por PP y QQ. Calculad la distancia entre las rectas rr y ss.
c)3 pts
Los valores de α\alpha para los cuales P,QP, Q y RR están alineados y la ecuación de la recta que los contiene.
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Ejercicio 6

6
10 puntos
Queremos diseñar un campo de juego de modo que la parte central sea rectangular, y las partes laterales sean semicircunferencias hacia fuera. La superficie del campo mide (4+π)(4 + \pi) metros cuadrados. Se quieren pintar todas las rayas de dicho campo tal y como se observa en la figura. Se pide:
Esquema del campo de juego con una parte central rectangular de dimensiones x e y, y dos semicircunferencias laterales.
Esquema del campo de juego con una parte central rectangular de dimensiones x e y, y dos semicircunferencias laterales.
a)5 pts
Escribid la longitud total de las rayas del campo en función de la altura yy del rectangle.
b)5 pts
Calculad las dimensiones del campo para que la pintura usada sea mínima.
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