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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2021Extraordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2021

6 ejercicios

Instrucciones

El alumnado contestará solo TRES problemas entre los seis propuestos. Cada problema se puntuará hasta 10 puntos. La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a las centésimas. Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados. En las respuestas se deben escribir todos los pasos del razonamiento utilizado.

Ejercicio 1

1
10 puntos
Se da el sistema de ecuaciones {2x−y+z=mx+y+3z=05x−4y+mz=m\begin{cases} 2x - y + z = m \\ x + y + 3z = 0 \\ 5x - 4y + mz = m \end{cases} donde mm es un parámetro real. Se pide:
a
La discusión del sistema de ecuaciones en función del parámetro mm.4 pts
b
La solución del sistema cuando m=1m = 1.3 pts
c
Las soluciones del sistema en el caso en que sea compatible indeterminado.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Se dan las rectas r:{x+y−1=02x−z−1=0r: \begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ 2x - z - 1 = 0 \end{cases}, s:x−11=y−1=z2s: \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{2} y el plano π:x+my+z=2\pi: x + my + z = 2 que depende del parámetro real mm. Obtened:
a
La posición relativa de las rectas rr y ss.4 pts
b
El valor del parámetro mm para que la recta ss esté contenida en el plano π\pi.3 pts
c
Los puntos A,B,CA, B, C intersección del plano π\pi con los ejes de coordenadas cuando m=2m = 2, así como el volumen del tetraedro de vértices A,B,CA, B, C y P(2,2,2)P(2, 2, 2).3 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Dada la función f(x)=xe1−x2f(x) = x e^{1 - x^2}, calculad:
a
El dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos.4 pts
b
Las asíntotas y la gráfica de ff.3 pts
c
La integral ∫f(x)dx\int f(x) dx.3 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Se dan las matrices A=(123−1a11a2−23)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & a & 1 \\ 1 & a^2 - 2 & 3 \end{pmatrix} y B=(1−12)(123)B = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}. Obtened:
a
El rango de la matriz AA según los valores del parámetro aa.3 pts
b
Una matriz CC tal que AC=16IAC = 16I, siendo II la matriz identidad, cuando a=0a = 0.4 pts
c
El rango de la matriz BB y la discusión de si el sistema B(xyz)=(1−12)B \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} tiene solución.3 pts
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Ejercicio 5

5
10 puntos
Dados los puntos P(1,1,0)P(1, 1, 0), Q(2,−1,1)Q(2, -1, 1) y R(α,3,−1)R(\alpha, 3, -1) se pide:
a
La ecuación del plano que contiene a P,QP, Q y RR cuando α=1\alpha = 1 y la distancia de dicho plano al origen de coordenadas.3 pts
b
La ecuación de la recta rr que pasa por RR cuando α=1\alpha = 1 y es paralela a la recta ss que pasa por PP y QQ. Calculad la distancia entre las rectas rr y ss.4 pts
c
Los valores de α\alpha para los cuales P,QP, Q y RR están alineados y la ecuación de la recta que los contiene.3 pts
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Ejercicio 6

6
10 puntos
Queremos diseñar un campo de juego de modo que la parte central sea rectangular, y las partes laterales sean semicircunferencias hacia fuera. La superficie del campo mide (4+π)(4 + \pi) metros cuadrados. Se quieren pintar todas las rayas de dicho campo tal y como se observa en la figura. Se pide:
Esquema del campo de juego con una parte central rectangular de dimensiones x e y, y dos semicircunferencias laterales.
a
Escribid la longitud total de las rayas del campo en función de la altura yy del rectangle.5 pts
b
Calculad las dimensiones del campo para que la pintura usada sea mínima.5 pts
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