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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2016Ordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2016

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntúa 2,5 puntos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dada la función f(x)=x3+3x2+ax−6,a∈Rf(x) = x^3 + 3x^2 + ax - 6, a \in \mathbb{R}, se pide:
a
Determinar el valor del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R} para que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x)f(x) en su punto de inflexión sea −3-3.1,25 pts
b
Para el valor del parámetro encontrado, calcular los extremos relativos e intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x).1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula la integral definida∫0π24cos⁡x2dx\int_{0}^{\frac{\pi^2}{4}} \frac{\cos \sqrt{x}}{2} dx
Datos
  • Puede ayudarte hacer el cambio de variable t=xt = \sqrt{x} y a continuación aplicar integración por partes
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro m∈Rm \in \mathbb{R}{x−y+mz=04x−3y+2z=m−mx+y−z=1−m\begin{cases} x - y + mz = 0 \\ 4x - 3y + 2z = m \\ -mx + y - z = 1 - m \end{cases}1,5 pts
b
Calcula la solución cuando el sistema sea compatible indeterminado.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea rr la recta determinada por el punto P(1,0,1)P(1, 0, 1) y el vector v⃗=(1,−1,0)\vec{v} = (1, -1, 0).
a
Calcula el punto de rr más cercano al punto Q(0,0,1)Q(0, 0, 1).1,5 pts
b
Calcula el punto simétrico de QQ respecto a rr.1 pt
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Enuncia los Teoremas de Bolzano y de Rolle.1 pt
b
Razona que la ecuación 2ex+x5=02e^x + x^5 = 0 tiene al menos una solución real.0,75 pts
c
Razona que, de hecho, dicha solución es única.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Calcula el área de la región acotada por las gráficas de las parábolas f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 y g(x)=−x2+2x+11g(x) = -x^2 + 2x + 11.1,5 pts
b
Calcula c∈Rc \in \mathbb{R} para que las rectas tangentes a las gráficas de f(x)f(x) y g(x)g(x) en el punto de abscisa x=cx = c tengan la misma pendiente.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sabiendo que∣223xyza2b3c∣=10\begin{vmatrix} 2 & 2 & 3 \\ x & y & z \\ a & 2b & 3c \end{vmatrix} = 10donde x,y,z,a,b,c∈Rx, y, z, a, b, c \in \mathbb{R}, calcula los determinantes indicando las propiedades que usas en cada caso para justificar tu respuesta.
a
∣141421x+4y+4z+6a2b53c5∣\begin{vmatrix} 14 & 14 & 21 \\ x + 4 & y + 4 & z + 6 \\ a & \frac{2b}{5} & \frac{3c}{5} \end{vmatrix}1,25 pts
b
∣03xyz03a2b3c06235000∣\begin{vmatrix} 0 & 3x & y & z \\ 0 & 3a & 2b & 3c \\ 0 & 6 & 2 & 3 \\ 5 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dados los planosπ1≡ax+y+2z=2,π2≡x+y+z=0yπ3≡x+ay+z=a,\pi_1 \equiv ax + y + 2z = 2, \quad \pi_2 \equiv x + y + z = 0 \quad \text{y} \quad \pi_3 \equiv x + ay + z = a,donde a∈Ra \in \mathbb{R}, se pide:
a
Estudiar la posición relativa de los planos anteriores en función del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}.1,5 pts
b
Para el valor a=1a = 1, calcular la distancia entre π2\pi_2 y π3\pi_3.1 pt
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