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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2021Ordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2021

6 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumnado contestará solo TRES problemas entre los seis propuestos. Cada problema se puntuará hasta 10 puntos. La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a las centésimas. Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados. En las respuestas se deben escribir todos los pasos del razonamiento utilizado.

Ejercicio 1

1
10 puntos
Dado el sistema de ecuaciones:{x+y+(a+1)z=2x+(a−1)y+2z=12x+ay+z=−1\begin{cases} x + y + (a + 1) z = 2 \\ x + (a - 1) y + 2 z = 1 \\ 2 x + a y + z = - 1 \end{cases}
a
Estudiadlo en función de los valores del parámetro real aa.5 pts
b
Encontrad todas las soluciones del sistema cuando éste sea compatible.5 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Se dan los planos π1:x+y+z=a−1\pi_1: x + y + z = a - 1, π2:2x+y+az=a\pi_2: 2x + y + az = a y π3:x+ay+z=1\pi_3: x + ay + z = 1.
a
Determinad la posición relativa de los tres planos en función del parámetro aa.4 pts
b
Para a=1a = 1, calculad, si existe, la recta de corte entre los planos π1\pi_1 y π3\pi_3.3 pts
c
Para a=2a = 2, calculad, si existe, la recta de corte entre los planos π1\pi_1 y π2\pi_2.3 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Consideramos la función f(x)=x−1x(x+2)f(x) = \frac{x - 1}{x(x + 2)}. Obtened:
a
El dominio y las asíntotas de la función.2 pts
b
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x).4 pts
c
La integral ∫f(x)dx\int f(x) dx.4 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Dada la matriz A=(−12m0m021m2+1)A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & m \\ 0 & m & 0 \\ 2 & 1 & m^2 + 1 \end{pmatrix}, se pide:
a
Obtened el rango de la matriz en función del parámetro mm.4 pts
b
Explicad cuándo la matriz AA es invertible.2 pts
c
Resolved la ecuación AX=IAX = I donde II es la matriz identidad en el caso m=1m = 1.4 pts
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Ejercicio 5

5
10 puntos
Dados el punto P(1,2,3)P(1, 2, 3) y el plano π≡3x+2y+z+4=0\pi \equiv 3x + 2y + z + 4 = 0, se pide:
a
Calculad la distancia del punto PP al plano π\pi.2 pts
b
Calculad el punto P′P' que es simétrico del punto PP respecto del plano π\pi.5 pts
c
Calculad la ecuación del plano π′\pi' que pasa por P′P' y es paralelo a π\pi.3 pts
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Ejercicio 6

6
10 puntos
Un espejo plano, cuadrado, de 80 cm80\,\text{cm} de lado, se ha roto por una esquina siguiendo una línea recta. El trozo desprendido tiene forma de triángulo rectángulo de catetos 32 cm32\,\text{cm} y 40 cm40\,\text{cm} respectivamente. En el espejo roto recortamos una pieza rectangular RR, uno de cuyos vértices es el punto (x,y)(x, y) (véase la figura).
Diagrama del espejo cuadrado con el recorte triangular y la pieza rectangular R definida por el punto (x, y). Se indican las dimensiones de los catetos (32 y 40).
a
Hallad el área de la pieza rectangular obtenida como función de xx, cuando 0≤x≤320 \leq x \leq 32.4 pts
b
Calculad las dimensiones que tendrá RR para que su área sea máxima.4 pts
c
Calculad el valor de dicha área máxima.2 pts
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