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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2014Ordinaria

Matemáticas II · Galicia 2014

8 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
3 puntos
a)
Estudia, según los valores de mm, el rango de la matriz A=(m131m21m3)A = \begin{pmatrix} m & 1 & 3 \\ 1 & m & 2 \\ 1 & m & 3 \end{pmatrix}
b)
¿Coincide AA con su inversa para algún valor de mm?
c)
Determina la matriz simétrica XX tal que X⋅(11)=(35)X \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} y el determinante de la matriz 3X3X sea −9-9.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
3 puntos
a)2 pts
Discute, según los valores del parámetro mm, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: {3x−y−2z=m+9mx+3y−z=03x−y+5z=0\begin{cases} 3x - y - 2z = m + 9 \\ mx + 3y - z = 0 \\ 3x - y + 5z = 0 \end{cases}
b)1 pts
Resuelve, si es posible, el sistema anterior para el caso m=−9m = -9.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
3 puntos
a)1 pts
Calcula el punto simétrico del punto P(−2,0,2)P(-2, 0, 2) respecto al plano π:3x+2y+z−3=0\pi: 3x + 2y + z - 3 = 0.
b)2 pts
Sea rr la recta perpendicular al plano π:3x+2y+z−3=0\pi: 3x + 2y + z - 3 = 0 y que pasa por el punto P(−2,0,2)P(-2, 0, 2). Consideremos la recta s:{2x−y−3z=0x−z−10=0s: \begin{cases} 2x - y - 3z = 0 \\ x - z - 10 = 0 \end{cases}. Estudia la posición relativa de rr y ss. Calcula la ecuación del plano paralelo a ss que contiene a rr.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
3 puntos
a)1,5 pts
Define el producto vectorial de dos vectores. Dados los vectores u⃗=(2,2,0)\vec{u} = (2, 2, 0) y v⃗=(1,1,−1)\vec{v} = (1, 1, -1), calcula los vectores unitarios y perpendiculares a los dos vectores u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}.
b)1,5 pts
Calcula el valor de aa para que la recta r:x2=y−26=z−2−4r: \frac{x}{2} = \frac{y - 2}{6} = \frac{z - 2}{-4} no corte al plano π:5x+ay+4z=5\pi: 5x + ay + 4z = 5. Para ese valor de aa, calcula la distancia de la recta al plano.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
a)1 pts
¿Es continua la función f(x)=x2−4x2−2xf(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 2x} en los puntos x=0x = 0 y x=2x = 2?
b)1 pts
Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x)=2x3−6x2+1f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 1 en su punto de inflexión.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
a)1 pts
Dada la función f(x)=ax+bcx−1f(x) = \frac{ax + b}{cx - 1}, calcula los valores de a,b,ca, b, c sabiendo que x=12x = \frac{1}{2} es una asíntota vertical y que y=5x−6y = 5x - 6 es la recta tangente a su gráfica en el punto correspondiente a x=1x = 1. Para los valores de a,b,ca, b, c calculados, ¿posee f(x)f(x) más asíntotas?
b)1 pts
Enuncia el teorema del valor medio del cálculo diferencial. ¿Se puede aplicar, en el intervalo [0,1][0, 1], este teorema a la función f(x)=12−xf(x) = \frac{1}{2 - x}? En caso afirmativo, calcula el punto al que hace referencia el teorema.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
a)1 pts
Calcula lim⁡x→1ln⁡(2x−1)x2−x\lim_{x \to 1} \frac{\ln(2x - 1)}{x^2 - \sqrt{x}} (Nota: ln⁡\ln = logaritmo neperiano).
b)1 pts
Calcula ∫01exe2x+3ex+2dx\int_{0}^{1} \frac{e^x}{e^{2x} + 3e^x + 2} dx.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
Dibuja y calcula el área de la región limitada por la gráfica de la parábola f(x)=−x2f(x) = -x^2 y la recta normal a la gráfica de f(x)f(x) en el punto correspondiente a x=1x = 1. (Nota: para el dibujo de las gráficas, indicar los puntos de corte con los ejes, el vértice de la parábola y concavidad o convexidad).
Gráfica de la parábola $y = -x^2$ y la recta normal $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ con puntos de intersección marcados.
Gráfica de la parábola $y = -x^2$ y la recta normal $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ con puntos de intersección marcados.
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