Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2019Ordinaria

Matemáticas II · Madrid 2019

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Despues de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder razonadamente a las cuestiones de la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora, siempre que no tenga NINGUNA de las siguientes características: posibilidad de transmitir datos, ser programable, pantalla gráfica, resolución de ecuaciones, operaciones con matrices, cálculo de determinantes, cálculo de derivadas, cálculo de integrales ni almacenamiento de datos alfanuméricos. Cualquiera que tenga alguna de estas características será retirada. CALIFICACIÓN: La valoración de cada ejercicio se especifica en el enunciado. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. TIEMPO: 90 minutos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dadas la matrices A=(13411a22−a−12aa−2)A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 1 \\ 1 & a & 2 & 2 - a \\ -1 & 2 & a & a - 2 \end{pmatrix} y M=(100010000001)M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, se pide:
a
Estudiar el rango de AA en función del parámetro real aa.1,5 pts
b
Calcular, si es posible, la inversa de la matriz AMAM para el caso a=0a = 0.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dada f(x)=ln⁡(x)xf(x) = \frac{\ln(x)}{x}, donde ln⁡\ln denota el logaritmo neperiano, definida para x>0x > 0, se pide:
a
Calcular, en caso de que exista, una asíntota horizontal de la curva y=f(x)y = f(x).0,5 pts
b
Encontrar un punto de la curva y=f(x)y = f(x) en el que la recta tangente a dicha curva sea horizontal y analizar si dicho punto es un extremo relativo.1 pt
c
Calcular el área del recinto acotado limitado por la curva y=f(x)y = f(x) y las rectas y=0y = 0 y x=ex = e.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dadas la recta r≡x−12=y−3−2=zr \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{-2} = z y la recta ss que pasa por el punto (2,−5,1)(2, -5, 1) y tiene dirección (−1,0,−1)(-1, 0, -1), se pide:
a
Estudiar la posición relativa de las dos rectas.1 pt
b
Calcular un plano que sea paralelo a rr y contenga a ss.1 pt
c
Calcular un plano perpendicular a la recta rr y que pase por el origen de coordenadas.0,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
La probabilidad de que un pez de una determinada especie sobreviva más de 5 años es del 10%10\%. Se pide:
a
Si en un acuario tenemos 10 peces de esta especie nacidos este año, hallar la probabilidad de que al menos dos de ellos sigan vivos dentro de 5 años.1 pt
b
Si en un tanque de una piscifactoría hay 200 peces de esta especie nacidos este mismo año, usando una aproximación mediante la distribución normal correspondiente, hallar la probabilidad de que al cabo de 5 años hayan sobrevivido al menos 10 de ellos.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Una estudiante pidió en la cafetería 3 bocadillos, 2 refrescos y 2 bolsas de patatas y pagó un total de 19 euros. Al mirar la cuenta comprobó que le habían cobrado un bocadillo y una bolsa de patatas de más. Reclamó y le devolvieron 4 euros. Para compensar el error, el vendedor le ofreció llevarse un bocadillo y un refresco por solo 3 euros, lo que suponía un descuento del 40%40\% respecto a sus precios originales. ¿Cuáles eran los respectivos precios sin descuento de un bocadillo, de un refresco y de una bolsa de patatas?
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dada la función f(x)=4x2−x4f(x) = \sqrt{4x^2 - x^4}, se pide:
a
Determinar su dominio.0,5 pts
b
Determinar sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento.1,5 pts
c
Calcular los límites laterales lim⁡x→0−f(x)x,lim⁡x→0+f(x)x\lim_{x \to 0^-} \frac{f(x)}{x}, \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x}.0,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dados el punto A(2,1,0)A(2, 1, 0) y el plano π≡2x+3y+4z=36\pi \equiv 2x + 3y + 4z = 36, se pide:
a
Determinar la distancia del punto AA al plano π\pi.0,75 pts
b
Hallar las coordenadas del punto del plano π\pi más próximo al punto AA.1 pt
c
Hallar el punto simétrico de AA respecto al plano π\pi.0,75 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Una compañía farmacéutica vende un medicamento que alivia la dermatitis atópica en un 80%80\% de los casos. Si un enfermo es tratado con un placebo, la probabilidad de mejoría espontánea es del 10%10\%. En un estudio experimental, la mitad de los pacientes han sido tratados con el medicamento y la otra mitad con un placebo.
a
Determinar cuál es la probabilidad de que un paciente elegido al azar haya mejorado.1 pt
b
Si un paciente elegido al azar ha mejorado, hallar la probabilidad de que haya sido tratado con el medicamento.1,5 pts
Ver este ejercicio