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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCastilla y LeónPAU 2023Ordinaria

Matemáticas CCSS · Castilla y León 2023

9 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. OPTATIVIDAD: CADA ESTUDIANTE DEBERÁ ESCOGER TRES PROBLEMAS Y UNA CUESTIÓN Y DESARROLLARLOS COMPLETOS. CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN Cada problema se puntuará sobre un máximo de 3 puntos. Cada cuestión se puntuará sobre un máximo de 1 punto. Salvo que se especifique lo contrario, los apartados que figuran en los distintos problemas son equipuntuables. La calificación final se obtiene sumando las puntuaciones de los tres problemas y la cuestión realizados. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos efectuados. CALCULADORA: Podrán usarse calculadoras no programables, que no admitan memoria para texto ni para resolución de ecuaciones, ni para resolución de integrales, ni para representaciones gráficas.

Ejercicio 1 · Opción CUESTIONES

1Opción CUESTIONES
1 punto
Cuestiones

Elija una cuestión de entre las tres propuestas.

Dado el sistema {x+y+z=0x−y−z=03x−3y−3z=0\begin{cases} x + y + z = 0 \\ x - y - z = 0 \\ 3x - 3y - 3z = 0 \end{cases} justifica que es un sistema compatible e indeterminado.
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Ejercicio 1 · Opción PROBLEMAS

1Opción PROBLEMAS
3 puntos
Problemas

Elija tres problemas de entre los seis propuestos.

Compramos tres entradas para tres actividades: una para el teatro, otra para un partido de baloncesto y otra para un concierto. Tras descontarnos el 10%10\% del precio total, hemos pagado 117117 euros por todas las entradas. Sabiendo que el precio de la entrada al concierto es el doble que el precio de la entrada al teatro y que la entrada al concierto es 2020 euros más cara que la entrada del partido de baloncesto, determinar el precio de la entrada a cada actividad.
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Ejercicio 2 · Opción CUESTIONES

2Opción CUESTIONES
1 punto
Cuestiones

Elija una cuestión de entre las tres propuestas.

¿Cuál es el dominio de definición de la función f(x)=x2−1f(x) = \sqrt{x^2 - 1}? Justifica la respuesta.
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Ejercicio 2 · Opción PROBLEMAS

2Opción PROBLEMAS
3 puntos
Problemas

Elija tres problemas de entre los seis propuestos.

Se consideran las matrices A=(2a−10)A = \begin{pmatrix} 2 & a \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, B=(124b)B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & b \end{pmatrix} y C=(−22−1−2)C = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}.
a
Hallar los valores de aa y bb para que se cumpla la igualdad A⋅B=CA \cdot B = C.1,5 pts
b
Para a=2a = 2 y b=4b = 4, resolver la ecuación matricial X=A⋅B+3CX = A \cdot B + 3C.1,5 pts
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Ejercicio 3 · Opción CUESTIONES

3Opción CUESTIONES
1 punto
Cuestiones

Elija una cuestión de entre las tres propuestas.

¿Qué probabilidad hay de que coincida algún día de cumpleaños en un grupo de tres amigas que no son hermanas? Considerar años no bisiestos para el cálculo.
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Ejercicio 3 · Opción PROBLEMAS

3Opción PROBLEMAS
3 puntos
Problemas

Elija tres problemas de entre los seis propuestos.

Tras una etapa de seis horas, un ciclista publica los datos sobre la potencia desarrollada en función del tiempo. Para la segunda parte de la etapa, dicha potencia (en vatios) viene dada por la función f(t)=−32t2+352t−568f(t) = -32t^2 + 352t - 568 para 3≤t≤63 \leq t \leq 6, donde tt es el tiempo (en horas).
a
¿Qué potencia alcanzó en el momento de iniciar la segunda parte de la etapa? ¿En qué intervalo de esa segunda parte alcanzó una potencia inferior a 272272 vatios?1,5 pts
b
¿Al cabo de cuántas horas alcanzó la máxima potencia? Calcular esa potencia máxima.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Problemas

Elija tres problemas de entre los seis propuestos.

Consideremos la función f(x)={x22x−1si x≤1x22x−1si x>1f(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{2x-1} & \text{si } x \leq 1 \\ \frac{x^2}{2x-1} & \text{si } x > 1 \end{cases}
a
Estudiar la continuidad de f(x)f(x) en todo su dominio. Calcular, si los tiene, los puntos de discontinuidad.1,5 pts
b
Determinar el área encerrada entre f(x)f(x) y el eje OXOX en el intervalo [0,1][0, 1], dibujando el recinto correspondiente.1,5 pts
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Ejercicio 5

5
3 puntos
Problemas

Elija tres problemas de entre los seis propuestos.

El precio del litro de gasolina en una provincia sigue una distribución normal con media desconocida μ\mu y desviación típica 0,050{,}05 euros. Un día cualquiera se toma una muestra de 1010 estaciones de servicio, elegidas al azar en dicha provincia, registrando los siguientes precios del litro de gasolina (en euros): 1,6121,7391,6251,7711,6421,7131,7051,6541,6321,6471{,}612 \quad\allowbreak 1{,}739 \quad\allowbreak 1{,}625 \quad\allowbreak 1{,}771 \quad\allowbreak 1{,}642 \quad\allowbreak 1{,}713 \quad\allowbreak 1{,}705 \quad\allowbreak 1{,}654 \quad\allowbreak 1{,}632 \quad\allowbreak 1{,}647
a
Con esta muestra, determinar un intervalo de confianza, al nivel del 95%95\%, para la media poblacional μ\mu (en euros) del precio del litro de gasolina en esa provincia.1,5 pts
b
Para un nivel de confianza del 99%99\%, ¿cuál es el tamaño mínimo de muestra que hay que tomar en esa provincia para que el error cometido al estimar la media poblacional μ\mu (en euros) sea inferior a 22 céntimos de euro?1,5 pts
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Ejercicio 6

6
3 puntos
Problemas

Elija tres problemas de entre los seis propuestos.

En el pasado mundial de fútbol, el 78%78\% de los penaltis fueron lanzados por un jugador diestro mientras que el resto de penaltis fueron lanzados por un jugador zurdo. Además, se marcó gol en el 82%82\% de los penaltis lanzados por jugadores diestros y en el 88%88\% de los penaltis lanzados por jugadores zurdos. Si se elige al azar un jugador para lanzar un penalti:
a
¿Qué probabilidad hay de que marque gol?1,5 pts
b
Si al lanzar el penalti no se marcó gol, ¿cuál es la probabilidad de que el jugador que lanzó el penalti sea zurdo?1,5 pts
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