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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2020Extraordinaria

Matemáticas II · Murcia 2020

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla normal estándar como anexo. OBSERVACIONES IMPORTANTES: Se debe responder a un máximo de 4 cuestiones y no es necesario hacerlo en el mismo orden en que están enunciadas. Cada cuestión tiene una puntuación de 2,5 puntos. Si se responde a más de 4 cuestiones, sólo se corregirán las cuatro primeras, en el orden que haya respondido el estudiante. Solo se podrán usar las tablas estadísticas que se adjuntan. No se podrán usar calculadoras gráficas ni programables.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro aa:{x+y+z=2x−ay+a2z=−1−ax+a2y−a3z=2\begin{cases} x + y + z = 2 \\ x - ay + a^2z = -1 \\ -ax + a^2y - a^3z = 2 \end{cases}
a
Compruebe que el sistema nunca tiene solución única.1 pt
b
Determine para qué valores de aa el sistema tiene infinitas soluciones.1 pt
c
Si es posible, resuélvalo para el valor de a=2a = 2.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere la matriz A=(−1−312)A = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
a
Calcule las potencias sucesivas A2,A3,A4,A5A^2, A^3, A^4, A^5 y A6A^6.1 pt
b
Calcule A2020A^{2020}.1 pt
c
Compruebe que la matriz AA es regular (o inversible) y calcule su inversa.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Calcule los siguientes límites:
a
lim⁡x→0ln⁡(3+x)−ln⁡(3−x)2x\lim_{x \to 0} \frac{\ln(3 + x) - \ln(3 - x)}{2x}1,25 pts
b
lim⁡x→+∞(x+1−x+2)\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 2})1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Calcule la integral indefinida ∫ln⁡(1+x2) dx\int \ln(1 + x^2) \, dx.2 pts
b
Calcule la integral definida ∫01ln⁡(1+x2) dx\int_{0}^{1} \ln(1 + x^2) \, dx.0,5 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Considere los puntos P=(5,6,1)P = (5, 6, 1) y Q=(3,2,5)Q = (3, 2, 5), y la rectar:x1=y−11=z+14r: \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 1}{4}
a
Determine el punto RR de la recta rr para el cual el área del triángulo PQRPQR es 1818 unidades cuadradas. Observación: hay dos puntos RR que son solución del apartado a); basta con encontrar uno de ellos.1,5 pts
b
Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos PP y QQ y compruebe que dicha recta corta perpendicularmente a la recta rr.1 pt
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Considere las rectas rr y ss dadas por las siguientes ecuaciones:r:{5x+3y=19y−5z=3ys:x−1−1=y1=z−50r: \begin{cases} 5x + 3y = 19 \\ y - 5z = 3 \end{cases} \qquad y \qquad s: \frac{x - 1}{-1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 5}{0}
a
Estudie la posición relativa de ambas rectas.1,25 pts
b
En caso de que las rectas se corten, calcule el punto de corte y el ángulo que forman. En caso de que las rectas se crucen, determine el plano que contiene a la recta rr y es paralelo a la recta ss.1,25 pts
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
El peso de los recién nacidos, medido en kilogramos (kg), sigue una distribución normal de media μ=2,8\mu = 2{,}8 kg y desviación típica σ\sigma. Se sabe que solo el 20,05%20{,}05\% de ellos pesa más de 33 kg.
Datos
  • Trabaje con 4 decimales, redondeando el resultado al cuarto decimal
a
¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido pese más de 2,62{,}6 kg?0,5 pts
b
Calcule la desviación típica de esta distribución normal.1 pt
c
¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido pese menos de 2,92{,}9 kg?1 pt
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Dos urnas A y B contienen bolas de colores con la siguiente composición: La urna A contiene 3 bolas verdes, 4 negras y 3 rojas, y la urna B contiene 6 bolas verdes y 4 bolas negras. Además, se tiene un dado que tiene 2 caras marcadas con la letra A y 4 caras marcadas con la letra B. Se lanza el dado y se saca una bola al azar de la urna que indica el dado.
a
¿Cuál es la probabilidad de que esa bola sea verde?0,75 pts
b
¿Cuál es la probabilidad de que esa bola sea roja?0,75 pts
c
Si bola extraída es verde, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la urna B?1 pt
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