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la cuevadel empollón
Matemáticas IILa RiojaPAU 2016Ordinaria

Matemáticas II · La Rioja 2016

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumno contestará a los ejercicios de una de las dos propuestas (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a ejercicios de una propuesta y a ejercicios distintos de la otra. Es necesario justificar las respuestas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean programables ni gráficas ni calculen integrales. Si algún alumno es sorprendido con una calculadora no autorizada, podrá ser expulsado del examen; en todo caso, se le retirará la calculadora sin que tenga derecho a que le proporcionen otra. Tiempo: Una hora y media.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Sean las matricesA=(1112),B=(0214)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}
i
Halle la matriz inversa de A.
ii
Encuentre la matriz X tal que AX=BAX = B.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
i
Calcule, si existe,lim⁡x→0(1+4x2)1/sen⁡2x\lim_{x \rightarrow 0} (1 + 4x^2)^{1 / \operatorname{sen}^2 x}
ii
Halle el área de la región delimitada por las gráficas de las parábolas y=x2y = x^2, x=y2x = y^2.
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Ejercicio 3

3
3 puntos
Sea g(x)=x3+2x2x2−4g(x) = \frac{x^3 + 2x^2}{x^2 - 4}.
i
Determine el dominio y la continuidad de gg.
ii
Halle las asíntotas de la gráfica de gg.
iii
Determine los extremos relativos y estudie la monotonía de gg.
iv
Dibuje la gráfica de gg destacando los elementos hallados anteriormente.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Dadas las rectasr1:x=y2=z3,r2:{x=1y=−1+tz=1−tr_1: x = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}, \quad r_2: \begin{cases} x = 1 \\ y = -1 + t \\ z = 1 - t \end{cases}
i
Determine la posición relativa de las rectas r1r_1 y r2r_2.
ii
Halle el punto de la recta r1r_1 más próximo al punto (1,0,1)(1, 0, 1).
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Sean las matricesA=(1112),B=(0214)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}
i
Halle la matriz inversa de A.
ii
Encuentre la matriz X tal que AX=BAX = B.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
i
Calcule, si existe,lim⁡x→0(1+4x2)1/sen⁡2x\lim_{x \rightarrow 0} (1 + 4x^2)^{1 / \operatorname{sen}^2 x}
ii
Halle el área de la región delimitada por las gráficas de las parábolas y=x2y = x^2, x=y2x = y^2.
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Ejercicio 3

3
3 puntos
Sean a,ba, b números reales y la funciónf(x)={x3,si x<−1ax+1,si −1≤x≤1x2+bx+2,si x>1f(x) = \begin{cases} x^3, & \text{si } x < -1 \\ ax + 1, & \text{si } -1 \leq x \leq 1 \\ x^2 + bx + 2, & \text{si } x > 1 \end{cases}
i
Calcule los valores de aa y bb tales que la función ff es continua en todos los puntos reales.
ii
Determine, en función de aa y bb, la derivabilidad de ff y calcule f′f' cuando sea posible.
iii
Utilice el teorema de Bolzano para justificar que si pp es un polinomio de grado 5, con coeficiente principal positivo, tal que p(−1)>−1p(-1) > -1, entonces la ecuación f(x)=p(x)f(x) = p(x) tiene al menos una solución cc, con c<−1c < -1.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Sean cc un número real y el sistema de ecuaciones lineales:{cx+y+cz=1x+cy+z=c2x+y+cz=c3\begin{cases} cx + y + cz = 1 \\ x + cy + z = c^2 \\ x + y + cz = c^3 \end{cases}
i
Calcule el determinante de la matriz de los coeficientes y determine para qué valores de cc el sistema anterior es compatible: compatible determinado y compatible indeterminado.
ii
Resuelve el sistema anterior cuando c=2c = 2.
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