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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2023Extraordinaria

Matemáticas II · Galicia 2023

8 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El examen consta de 8 preguntas de 2 puntos, de las que puede responder un MÁXIMO DE 5, combinadas como quiera. Si responde más preguntas de las permitidas, solo serán corregidas las 5 primeras respondidas.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Números y álgebra
a
Calcule AA si (AB)T=(1021)(AB)^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} y B=(11−10)B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.1 pt
b
Si A=(3xyz)A = \begin{pmatrix} 3 & x \\ y & z \end{pmatrix} es invertible, obtenga los valores de x,y,z∈Rx, y, z \in \mathbb{R} sabiendo que det⁡(A−3I)=0\det(A - 3I) = 0, que y≠0y \neq 0 y que (3z)A−1+I=(20−14)(3z)A^{-1} + I = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}. Entiéndase que II es la matriz identidad.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Números y álgebra
Discuta, según los valores del parámetro mm, el sistema {(m+1)x+z=1(m+1)x+y+z=m+1(m+1)x+my+(m−1)z=m\begin{cases} (m + 1)x + z = 1 \\ (m + 1)x + y + z = m + 1 \\ (m + 1)x + my + (m - 1)z = m \end{cases}
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Análisis
a
Enuncie los teoremas de Rolle y del valor medio del cálculo diferencial.1 pt
b
Explique si f:[0,1]→R,f(x)=1−x2f: [0, 1] \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \sqrt{1 - x^2} está o no en las hipótesis del teorema del valor medio del cálculo diferencial. En caso de que lo esté, calcule un valor cc para el cual se cumpla la tesis de ese teorema.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Análisis
a
Calcule mediante cambio de variable las integrales ∫(sen⁡x)5cos⁡x dx\int (\sen x)^5 \cos x \, dx y ∫ln⁡xx dx\int \frac{\ln x}{x} \, dx.1 pt
b
Calcule ∫ln⁡xx dx\int \frac{\ln x}{x} \, dx empleando el método de integración por partes. Luego, obtenga algún valor de BB tal que ∫eBln⁡xx dx=3/2\int_{e}^{B} \frac{\ln x}{x} \, dx = 3/2.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Geometría
a
Considérense el plano π:ax+y+z=1\pi: ax + y + z = 1, donde aa es un parámetro real y la recta r:x−12=y3=z+13r: \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{3}. Estudie la posición relativa de π\pi y rr en función de aa y obtenga el valor de aa que hace que π\pi y rr sean perpendiculares. Por último, razone si rr puede estar contenida en π\pi o no.1 pt
b
Si π:−3x+y+z=1\pi: -3x + y + z = 1, diga qué valor tiene que tomar bb para que r:x−12=y−b3=z+13r: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - b}{3} = \frac{z + 1}{3} esté contenida en π\pi.1 pt
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Geometría
Considérese el plano π:2x−y+z=1\pi: 2x - y + z = 1. Se pide:
a
Calcular la distancia de π\pi al punto de corte de las rectas r1:{x=2+λy=0z=−1−λr_1: \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = 0 \\ z = -1 - \lambda \end{cases} y r2:{x=μy=−1+μz=0(λ,μ∈R)r_2: \begin{cases} x = \mu \\ y = -1 + \mu \\ z = 0 \end{cases} (\lambda, \mu \in \mathbb{R}).1 pt
b
Obtener el punto simétrico de P(1,0,0)P(1, 0, 0) con respecto a π\pi.1 pt
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Estadística y probabilidad
a
Calcule P(A∣B)P(A|B) si B⊂AB \subset A. Luego, si P(C)=0,5P(C) = 0{,}5 y P(D)=0,6P(D) = 0{,}6, explique si CC y DD pueden ser incompatibles. Por último, obtenga P(E∪F)P(E \cup F) y P(E∩Fˉ)P(E \cap \bar{F}) si EE y FF son independientes, P(E)=0,3P(E) = 0{,}3 y P(F)=0,2P(F) = 0{,}2.1 pt
b
Se tira un dado siete veces. Calcule la probabilidad de que salgan exactamente dos seises.1 pt
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Estadística y probabilidad
Para un determinado grupo de pacientes, la tensión arterial sistólica (medida en mmHg) sigue una distribución normal de media 123,6123{,}6 y desviación típica 17,817{,}8. Calcule la probabilidad de que un paciente elegido al azar tenga una tensión comprendida entre 100100 y 120120 mmHg. Luego, obtenga el valor de la tensión que es superado por el 67%67\% de los pacientes.
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