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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2023Extraordinaria

Matemáticas II · Galicia 2023

8 ejercicios

Ejercicio 1

1
2 puntos
Números y Álgebra
a)1 pts
Calcule AA si (AB)T=(1021)(AB)^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} y B=(11−10)B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.
b)1 pts
Si A=(3xyz)A = \begin{pmatrix} 3 & x \\ y & z \end{pmatrix} es invertible, obtenga los valores de x,y,z∈Rx, y, z \in \mathbb{R} sabiendo que det⁡(A−3I)=0\det(A - 3I) = 0, que y≠0y \neq 0 y que (3z)A−1+I=(20−14)(3z)A^{-1} + I = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}. Entiéndase que II es la matriz identidad.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Números y Álgebra
Discuta, según los valores del parámetro mm, el sistema {(m+1)x+z=1(m+1)x+y+z=m+1(m+1)x+my+(m−1)z=m\begin{cases} (m + 1)x + z = 1 \\ (m + 1)x + y + z = m + 1 \\ (m + 1)x + my + (m - 1)z = m \end{cases}
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Análisis
a)1 pts
Enuncie los teoremas de Rolle y del valor medio del cálculo diferencial.
b)1 pts
Explique si f:[0,1]→R,f(x)=1−x2f: [0, 1] \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \sqrt{1 - x^2} está o no en las hipótesis del teorema del valor medio del cálculo diferencial. En caso de que lo esté, calcule un valor cc para el cual se cumpla la tesis de ese teorema.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Análisis
a)1 pts
Calcule mediante cambio de variable las integrales ∫(sen⁡x)5cos⁡x dx\int (\sen x)^5 \cos x \, dx y ∫ln⁡xx dx\int \frac{\ln x}{x} \, dx.
b)1 pts
Calcule ∫ln⁡xx dx\int \frac{\ln x}{x} \, dx empleando el método de integración por partes. Luego, obtenga algún valor de BB tal que ∫eBln⁡xx dx=3/2\int_{e}^{B} \frac{\ln x}{x} \, dx = 3/2.
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Geometría
a)1 pts
Considérense el plano π:ax+y+z=1\pi: ax + y + z = 1, donde aa es un parámetro real y la recta r:x−12=y3=z+13r: \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{3}. Estudie la posición relativa de π\pi y rr en función de aa y obtenga el valor de aa que hace que π\pi y rr sean perpendiculares. Por último, razone si rr puede estar contenida en π\pi o no.
b)1 pts
Si π:−3x+y+z=1\pi: -3x + y + z = 1, diga qué valor tiene que tomar bb para que r:x−12=y−b3=z+13r: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - b}{3} = \frac{z + 1}{3} esté contenida en π\pi.
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Geometría
Considérese el plano π:2x−y+z=1\pi: 2x - y + z = 1. Se pide:
a)1 pts
Calcular la distancia de π\pi al punto de corte de las rectas r1:{x=2+λy=0z=−1−λr_1: \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = 0 \\ z = -1 - \lambda \end{cases} y r2:{x=μy=−1+μz=0(λ,μ∈R)r_2: \begin{cases} x = \mu \\ y = -1 + \mu \\ z = 0 \end{cases} (\lambda, \mu \in \mathbb{R}).
b)1 pts
Obtener el punto simétrico de P(1,0,0)P(1, 0, 0) con respecto a π\pi.
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Estadística y Probabilidad
a)1 pts
Calcule P(A∣B)P(A|B) si B⊂AB \subset A. Luego, si P(C)=0,5P(C) = 0{,}5 y P(D)=0,6P(D) = 0{,}6, explique si CC y DD pueden ser incompatibles. Por último, obtenga P(E∪F)P(E \cup F) y P(E∩Fˉ)P(E \cap \bar{F}) si EE y FF son independientes, P(E)=0,3P(E) = 0{,}3 y P(F)=0,2P(F) = 0{,}2.
b)1 pts
Se tira un dado siete veces. Calcule la probabilidad de que salgan exactamente dos seises.
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Estadística y Probabilidad
Para un determinado grupo de pacientes, la tensión arterial sistólica (medida en mmHg) sigue una distribución normal de media 123,6123{,}6 y desviación típica 17,817{,}8. Calcule la probabilidad de que un paciente elegido al azar tenga una tensión comprendida entre 100100 y 120120 mmHg. Luego, obtenga el valor de la tensión que es superado por el 67%67\% de los pacientes.
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