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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2016Ordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2016

8 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
a)1,5 pts
Discutir para qué valores de a∈Ra \in \mathbb{R} la matriz M=(−5a10−a−1)M = \begin{pmatrix} -5 & a \\ 10 & -a-1 \end{pmatrix} tiene inversa. Calcular M−1M^{-1} para a=0a = 0.
b)1 pts
Si BB es una matriz cuadrada de orden 3 y ∣B∣=−5|B| = -5, calcular ∣2Bt∣|2B^t|, donde BtB^t denota la matriz traspuesta de BB.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
a)1,5 pts
Discutir, según el valor del parámetro mm, el sistema de ecuaciones lineales: {x+y+mz=2x+my+z=2mx+y−mz=0\begin{cases} x + y + mz = 2 \\ x + my + z = 2m \\ x + y - mz = 0 \end{cases}
b)1 pts
Resolverlo para m=1m = 1.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
a)1 pts
Calcular un vector de módulo 4 que tenga la misma dirección, pero distinto sentido, que el vector v⃗=(2,1,−2)\vec{v} = (2, 1, -2).
b)1,5 pts
Calcular un punto de la recta r≡x−1−1=y+21=z−3−2r \equiv \frac{x-1}{-1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-3}{-2} cuya distancia al punto A=(−1,2,0)A = (-1, 2, 0) sea mínima.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Consideremos las rectas r≡x2=y=z−12r \equiv \frac{x}{2} = y = \frac{z-1}{2} y s≡x2=y−13=zs \equiv \frac{x}{2} = \frac{y-1}{3} = z.
a)1 pts
Comprobar que las rectas rr y ss se cruzan.
b)1,5 pts
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y corta a las rectas rr y ss.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
a)1,25 pts
Calcular a,ba, b y cc para que la función f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c tenga pendiente nula en el punto (1,1)(1, 1) de su gráfica y, sin embargo, no tenga un extremo relativo en dicho punto.
b)1,25 pts
Probar que la ecuación x5+x−1=0x^5 + x - 1 = 0 tiene una única solución real positiva.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Tenemos un cartón cuadrado de 66 cm de lado y queremos construir con él una caja sin tapa. Para ello recortamos un cuadrado de xx cm de lado en cada vértice del cartón. Calcular xx para que el volumen de la caja sea máximo.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
a)1 pts
Calcular lim⁡x→0+(1x−1ex−1)\lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1} \right)
b)1,5 pts
Calcular el área de la región delimitada por la gráfica de la función f(x)=1−x2f(x) = 1 - x^2 y las rectas tangentes a dicha gráfica en los puntos de abscisa x=1x = 1 y x=−1x = -1.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
a)1 pts
Calcular lim⁡x→0+(1+x2)1/x\lim_{x \to 0^+} (1 + x^2)^{1/x}
b)1,5 pts
Calcular el área de la región delimitada por la gráfica de la función f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x, el eje OXOX y la recta x=3x = 3.
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