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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2016Ordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2016

4 ejercicios

Instrucciones

1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo desarrollar los cuatro ejercicios de la misma en el orden que desee. 2.- CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas).
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Discutir para qué valores de a∈Ra \in \mathbb{R} la matriz M=(−5a10−a−1)M = \begin{pmatrix} -5 & a \\ 10 & -a-1 \end{pmatrix} tiene inversa. Calcular M−1M^{-1} para a=0a = 0.1,5 pts
b
Si BB es una matriz cuadrada de orden 3 y ∣B∣=−5|B| = -5, calcular ∣2Bt∣|2B^t|, donde BtB^t denota la matriz traspuesta de BB.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Calcular un vector de módulo 4 que tenga la misma dirección, pero distinto sentido, que el vector v⃗=(2,1,−2)\vec{v} = (2, 1, -2).1 pt
b
Calcular un punto de la recta r≡x−1−1=y+21=z−3−2r \equiv \frac{x-1}{-1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-3}{-2} cuya distancia al punto A=(−1,2,0)A = (-1, 2, 0) sea mínima.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Calcular a,ba, b y cc para que la función f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c tenga pendiente nula en el punto (1,1)(1, 1) de su gráfica y, sin embargo, no tenga un extremo relativo en dicho punto.1,25 pts
b
Probar que la ecuación x5+x−1=0x^5 + x - 1 = 0 tiene una única solución real positiva.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Calcular lim⁡x→0+(1x−1ex−1)\lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1} \right)1 pt
b
Calcular el área de la región delimitada por la gráfica de la función f(x)=1−x2f(x) = 1 - x^2 y las rectas tangentes a dicha gráfica en los puntos de abscisa x=1x = 1 y x=−1x = -1.1,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Discutir, según el valor del parámetro mm, el sistema de ecuaciones lineales:{x+y+mz=2x+my+z=2mx+y−mz=0\begin{cases} x + y + mz = 2 \\ x + my + z = 2m \\ x + y - mz = 0 \end{cases}1,5 pts
b
Resolverlo para m=1m = 1.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Consideremos las rectas r≡x2=y=z−12r \equiv \frac{x}{2} = y = \frac{z-1}{2} y s≡x2=y−13=zs \equiv \frac{x}{2} = \frac{y-1}{3} = z.
a
Comprobar que las rectas rr y ss se cruzan.1 pt
b
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y corta a las rectas rr y ss.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Tenemos un cartón cuadrado de 66 cm de lado y queremos construir con él una caja sin tapa. Para ello recortamos un cuadrado de xx cm de lado en cada vértice del cartón. Calcular xx para que el volumen de la caja sea máximo.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Calcular lim⁡x→0+(1+x2)1/x\lim_{x \to 0^+} (1 + x^2)^{1/x}1 pt
b
Calcular el área de la región delimitada por la gráfica de la función f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x, el eje OXOX y la recta x=3x = 3.1,5 pts
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