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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCastilla-La ManchaPAU 2010Ordinaria

Matemáticas CCSS · Castilla-La Mancha 2010

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Se podrá utilizar cualquier tipo de calculadora. El examen incluye tabla N(0,1) como anexo.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dada la ecuación matricial 3⋅X−A⋅X=B−2⋅A⋅X3 \cdot X - A \cdot X = B - 2 \cdot A \cdot X. Se pide:
a
Resuelve matricialmente la ecuación.0,75 pts
b
Si A=(2112)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} y B=(3−45−941)B = \begin{pmatrix} 3 & -4 & 5 \\ -9 & 4 & 1 \end{pmatrix}, calcula la matriz XX.1,75 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Se considera la gráfica de la función f(x)=x3−6x2+9x+2f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 como la representación en el plano, de la trayectoria del vuelo de una mosca, en la que xx representa el tiempo, en segundos, y f(x)f(x) representa la altura, en metros, respecto del suelo. Se considera el intervalo de tiempo [0,5][0, 5], se pide:
a
Intervalos de tiempo en los que la mosca va subiendo.0,5 pts
b
Intervalos de tiempo en los que la mosca va bajando.0,5 pts
c
Tiempos en el que la mosca alcanza una altura máxima relativa y una altura mínima relativa y valores de estas alturas.0,75 pts
d
¿A qué altura estaba la mosca cuando empezó el vuelo?0,25 pts
e
¿Cuál es la altura máxima que alcanza la mosca en el intervalo de tiempo dado?0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Una fábrica de ordenadores va a lanzar al mercado dos nuevos modelos (uno básico y otro de lujo). El coste de fabricación del modelo básico es de 300300 euros y el del modelo de lujo 10001000 euros, disponiendo para esta operación de lanzamiento de 2800028000 euros. Para evitar riesgos, de momento se cree conveniente lanzar al menos el doble de ordenadores del modelo básico que del modelo de lujo y, en todo caso, no fabricar más de 5050 ordenadores del básico. Además se quiere fabricar no menos de 1010 ordenadores de lujo.
a
Representa la región factible.1,5 pts
b
¿Cuántos ordenadores debe fabricar si quiere maximizar el número total de ordenadores fabricados?0,5 pts
c
Si fabrica el máximo número de ordenadores posibles, ¿agota el presupuesto disponible?0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Para efectuar un control de calidad sobre la duración en horas de un componente electrónico se elige una muestra aleatoria de 3636 componentes obteniéndose una duración media de 4040 horas. Sabiendo que la duración de estos componentes electrónicos se distribuye según una normal con una desviación típica de 1010 horas.
a
Encontrar el intervalo de confianza al 97%97\% para la duración media de las componentes electrónicas.1 pt
b
Interpretar el significado del intervalo obtenido.0,75 pts
c
Si quisiéramos un intervalo de confianza de menor ancho, ¿qué opciones tendríamos? Razona tu respuesta.0,75 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Si dividimos el numerador entre el denominador de la fracción xy\frac{x}{y} se obtiene 33 de cociente y rr de resto. Efectuando la misma operación en la fracción 2xy\frac{2x}{y} se obtiene en la 1a1^a división 77 de cociente y de resto una unidad menos que el resto de la división anterior. Se sabe, además, que en la 1a1^a división, la suma del dividendo, del divisor y del resto excede en dos unidades al quíntuplo del cociente de esa división. Se pide:
a
Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado.1,5 pts
b
Determina el valor de xx, de yy y del resto de la 1a1^a división.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Se considera la función f(x)={−x2+2,si x≤−1x2+2,si −1<x≤1(x−2)2,si x>1f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2, & \text{si } x \leq -1 \\ x^2 + 2, & \text{si } -1 < x \leq 1 \\ (x - 2)^2, & \text{si } x > 1 \end{cases}, se pide:
a
Estudia su continuidad en los puntos de abscisa x=−1x = -1 y x=1x = 1.0,5 pts
b
Represéntala gráficamente.1 pt
c
Extremos relativos de ff en el intervalo [−1,1][-1, 1]. Razona la respuesta.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Las muestras de vidrio de un laboratorio se colocan en paquetes pequeños y ligeros o en paquetes grandes y pesados. Supongamos que el 2%2\% y el 1%1\% de las muestras que son enviadas en paquetes pequeños y grandes, respectivamente, se rompen durante el trayecto a su destino. Si el 60%60\% de las muestras se envían en paquetes pequeños, y el 40%40\% en paquetes grandes.
a
¿Cuál es la proporción de muestras que se romperán durante el envío?1 pt
b
Suponed que nos dicen que se ha roto un paquete, ¿cuál es la probabilidad de que el paquete sea grande?1 pt
c
¿Cuál es la probabilidad de enviar dos paquetes pequeños y que no se rompa ninguno?0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Un Ayuntamiento va a realizar una encuesta para averiguar si los ciudadanos están a favor de las últimas medidas en relación a las fiestas que se han tomado. Se ha preguntado a 100100 vecinos elegidos de forma aleatoria entre todos los ciudadanos, obteniendo una media de 7,57{,}5 puntos de satisfacción y sabemos que las puntuaciones se distribuyen según una normal de desviación típica 11.
a
Encontrar el intervalo de confianza al 97,8%97{,}8\% para la media de satisfacción.1 pt
b
Interpretar el significado del intervalo obtenido.1 pt
c
¿Crees que sería válido el intervalo de confianza obtenido, si hubiéramos elegido a los primeros 100100 vecinos que contesten la encuesta en el horario 1010 a 1414? Razona tu respuesta.0,5 pts
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