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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSBalearesPAU 2017Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Baleares 2017

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Contestad de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Se dispone de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total entre 4. Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo. Podéis utilizar calculadora de cualquier tipo, científica, gráfica o programable, pero no se autorizará el uso de las que traigan información almacenada o puedan transmitirla.
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Considerar las matrices siguientes:A=(2−51−3),B=(3−101) y C=(12−15)\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}, \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \text{ y } \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}Se pide:
a
Calcular A2−B⋅Ct\mathbf{A}^2 - \mathbf{B} \cdot \mathbf{C}^t, donde CtC^t es la traspuesta de la matriz CC.5 pts
b
Resolver la ecuación matricial A⋅X+B=CA \cdot X + B = C.5 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Un estudio acerca de la presencia de COX2\ce{CO2} en la atmósfera de una ciudad indica que el nivel de contaminación viene dado por la funciónC(t)=−0,2t2+4t+25,0≤t≤25C(t) = -0{,}2t^2 + 4t + 25, \quad 0 \leq t \leq 25(t=an˜os transcurridos desde el an˜o 2000t = \text{años transcurridos desde el año 2000}). Se pide:
a
¿En qué año se alcanzará un máximo en el nivel de contaminación?4 pts
b
¿En qué año se alcanzará el nivel de contaminación cero?2 pts
c
¿Cuándo t=17t = 17 el nivel de contaminación será creciente o decreciente?4 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Sean AA y BB dos sucesos que tienen probabilidades 0,40{,}4 y 0,60{,}6 respectivamente. Se sabe que dado BB, la probabilidad de que ocurra AA es 0,30{,}3. Se pide:
a
¿Cuál es la probabilidad de que ocurran ambos sucesos a la vez?2 pts
b
¿Cuál es la probabilidad de que ocurra cualquiera de los sucesos?3 pts
c
¿Cuál es la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos?5 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
En una cierta entidad bancaria, el 40%40\% de los créditos concedidos son para vivienda, el 50%50\% se destinan a empresas, y el 10%10\% son para consumo. Se sabe además que de los créditos concedidos a vivienda, el 15%15\% resultan impagados; de los créditos concedidos a empresas son impagados el 20%20\%; y de los créditos concedidos al consumo resultan impagados el 15%15\%.
a
Calcular la probabilidad de que un cierto crédito elegido al azar sea pagado.6 pts
b
¿Cuál es la probabilidad de que un crédito elegido al azar se haya destinado a consumo, sabiendo que se ha pagado?4 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Un grupo de estudiantes financia su viaje de fin de curso con la venta de participaciones de lotería por importe de 11, 22 y 55 euros. Han recaudado un total de 620620 € y han vendido el doble de participaciones de 11 € que de 55 €. Si han vendido un total de 280280 participaciones, calcular el número de participaciones que han vendido de cada importe.
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Un fábrica de papel quiere liquidar hasta 88 kg88\,\text{kg} de papel reciclado y hasta 148 kg148\,\text{kg} de papel normal. Para ello hace dos tipos de lotes, A y B. Los lotes de tipo A están formados por 1 kg1\,\text{kg} de papel reciclado y 3 kg3\,\text{kg} de papel normal, y los lotes de tipo B por 2 kg2\,\text{kg} de papel de cada clase. El precio de venta de cada lote de tipo A es de 1,11{,}1 € y el de cada lote de tipo B es de 1,51{,}5 €. ¿Cuántos lotes de tipo A y B debe de vender para maximizar sus ingresos? ¿A cuánto ascienden estos ingresos máximos? Se tiene que plantear el problema como un problema de programación lineal, dibujando la región factible de soluciones y determinando y dibujando sus vértices.
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Ejercicio 3

3
10 puntos
En una cierta población el consumo de agua (en m3\text{m}^3) en función de las horas del día, viene dado porC(t)={179t,si 0≤t<9αt2+βt−172,si 9≤t<20168−7t,si 20≤t<24C(t) = \begin{cases} \frac{17}{9}t, & \text{si } 0 \leq t < 9 \\ \alpha t^2 + \beta t - 172, & \text{si } 9 \leq t < 20 \\ 168 - 7t, & \text{si } 20 \leq t < 24 \end{cases}Sabiendo que la función es continua en el intervalo (0,20)(0, 20), y que a las 1515 horas se alcanza el máximo consumo de agua, determinar α\alpha y β\beta.
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Se sabe que el peso de los jugadores de la liga de fútbol profesional se distribuye según una normal de desviación típica de 6 kg6\,\text{kg}. Para estudiar el peso medio de los jugadores, se extrae una muestra de tamaño 88, obteniendo los siguientes resultados: 63,763{,}7; 4848; 43,543{,}5; 6565; 8282; 70,370{,}3; 56,556{,}5; 5050.
a
Calcular un intervalo de confianza a un nivel de significación del 10%10\% para el peso medio de los jugadores.6 pts
b
¿De qué tamaño tiene que ser la muestra para que con el mismo nivel de significación el error cometido en la estimación no exceda de 1,2 kg1{,}2\,\text{kg}?4 pts
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