Matemáticas CCSS · Baleares 2017

Considerar las matrices siguientes: $$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}, \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \text{ y } \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$$ Se pide:

Un grupo de estudiantes financia su viaje de fin de curso con la venta de participaciones de lotería por importe de $1$, $2$ y $5$ euros. Han recaudado un total de $620$ € y han vendido el doble de participaciones de $1$ € que de $5$ €. Si han vendido un total de $280$ participaciones, calcular el número de participaciones que han vendido de cada importe.

Un estudio acerca de la presencia de $\ce{CO2}$ en la atmósfera de una ciudad indica que el nivel de contaminación viene dado por la función $$C(t) = -0{,}2t^2 + 4t + 25, \quad 0 \leq t \leq 25$$ ($t = \text{años transcurridos desde el año 2000}$). Se pide:

Un fábrica de papel quiere liquidar hasta $88\,\text{kg}$ de papel reciclado y hasta $148\,\text{kg}$ de papel normal. Para ello hace dos tipos de lotes, A y B. Los lotes de tipo A están formados por $1\,\text{kg}$ de papel reciclado y $3\,\text{kg}$ de papel normal, y los lotes de tipo B por $2\,\text{kg}$ de papel de cada clase. El precio de venta de cada lote de tipo A es de $1{,}1$ € y el de cada lote de tipo B es de $1{,}5$ €. ¿Cuántos lotes de tipo A y B debe de vender para maximizar sus ingresos? ¿A cuánto ascienden estos ingresos máximos? Se tiene que plantear el problema como un problema de programación lineal, dibujando la región factible de soluciones y determinando y dibujando sus vértices.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos que tienen probabilidades $0{,}4$ y $0{,}6$ respectivamente. Se sabe que dado $B$, la probabilidad de que ocurra $A$ es $0{,}3$. Se pide:

En una cierta población el consumo de agua (en $\text{m}^3$) en función de las horas del día, viene dado por $$C(t) = \begin{cases} \frac{17}{9}t, & \text{si } 0 \leq t < 9 \\ \alpha t^2 + \beta t - 172, & \text{si } 9 \leq t < 20 \\ 168 - 7t, & \text{si } 20 \leq t < 24 \end{cases}$$ Sabiendo que la función es continua en el intervalo $(0, 20)$, y que a las $15$ horas se alcanza el máximo consumo de agua, determinar $\alpha$ y $\beta$.

En una cierta entidad bancaria, el $40\%$ de los créditos concedidos son para vivienda, el $50\%$ se destinan a empresas, y el $10\%$ son para consumo. Se sabe además que de los créditos concedidos a vivienda, el $15\%$ resultan impagados; de los créditos concedidos a empresas son impagados el $20\%$; y de los créditos concedidos al consumo resultan impagados el $15\%$.

Se sabe que el peso de los jugadores de la liga de fútbol profesional se distribuye según una normal de desviación típica de $6\,\text{kg}$. Para estudiar el peso medio de los jugadores, se extrae una muestra de tamaño $8$, obteniendo los siguientes resultados: $63{,}7$; $48$; $43{,}5$; $65$; $82$; $70{,}3$; $56{,}5$; $50$.