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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2023Ordinaria

Matemáticas II · Navarra 2023

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Realiza cuatro preguntas de las ocho que se presentan. La duración de la prueba es de 90 minutos. Se calificará de 0 a 10 puntos, redondeando a cuartos de punto. Se debe responder exclusivamente a cuatro de los problemas planteados. Si alguien responde a más de cuatro, solo se sumarán las cuatro peores puntuaciones. Se tendrá en cuenta el planteamiento seguido para la resolución del problema y la claridad en la exposición. Si es pertinente, se valorará la referencia a los resultados teóricos usados. Para la penalización de los errores en los cálculos, se tendrá en cuenta: • si son consecuencia de no haber seguido el procedimiento más adecuado. si reflejan fallos de concepto. • si producen simplificaciones relevantes. • si ocurren con reiteración.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa y resuélvelo en los casos en que sea compatible:{x−y−z=02x+(2a−1)y+(2−2)z=2−ax+ay+2a2z=2\begin{cases} x - y - z = 0 \\ 2x + (2a - 1)y + (\sqrt{2} - 2)z = 2 \\ -ax + ay + 2a^2z = \sqrt{2} \end{cases}Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula los valores de tt para los que el rango de la matriz A⋅BA \cdot B es máximo, siendoA=(00−101t−11t1)yB=(t+11t0t−2t+1t+1t+1−t−1)A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & t - 1 \\ 1 & t & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} t + 1 & 1 & t \\ 0 & t & -2t + 1 \\ t + 1 & t + 1 & -t - 1 \end{pmatrix}
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Calcula la ecuación continua de la recta perpendicular a rr y ss que corta a ambas, siendor≡{x−y−z+2=0x−3y+3z−8=0ys≡x−23=y+5−4=z−0−2r \equiv \begin{cases} x - y - z + 2 = 0 \\ x - 3y + 3z - 8 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 5}{-4} = \frac{z - 0}{-2}
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sean P(1,5,−1)P(1, 5, -1) y la recta r≡x−12=y−21=z+42r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 4}{2}
a
Calcula el punto Q∈rQ \in r tal que la distancia de PP a QQ sea mínima.1,25 pts
b
Halla los puntos Q1Q_1 y Q2Q_2 pertenecientes a rr tales que d(P,Q1)=d(P,Q2)=32d(P, Q_1) = d(P, Q_2) = 3\sqrt{2}1,25 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Calcula las siguientes integrales indefinidas:
a
∫2x−5x2+x−2dx\int \frac{2x - 5}{x^2 + x - 2} dx1,25 pts
b
∫xln⁡xdx\int x \ln x dx1,25 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Estudia la continuidad en R\mathbb{R} de la siguiente función:f(x)={cos⁡2(πx)−11−xx<1ln⁡(x⋅ex+1)−2xx≥1f(x) = \begin{cases} \frac{\cos^2(\pi x) - 1}{1 - x} & x < 1 \\ \ln(x \cdot e^{x + 1}) - 2x & x \geq 1 \end{cases}
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Se considera la función f(x)=(x+1)sen⁡(πx)f(x) = (x + 1) \sen(\pi x).
a
Demuestra que es continua en R\mathbb{R}0,5 pts
b
Comprueba que existe un valor α∈(0,1)\alpha \in (0, 1) tal que f(α)=34f(\alpha) = \frac{3}{4}. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.2 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Encuentra los dos puntos en los que se cortan las gráficas de estas dos funciones:f(x)=2−2x2yg(x)=x4−x2f(x) = 2 - 2x^2 \quad \text{y} \quad g(x) = x^4 - x^2Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas.
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