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la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2017Extraordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2017

6 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responda a CINCO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Puede utilizar calculadora, pero no se autorizará el uso de calculadoras u otros aparatos que lleven información almacenada o que puedan transmitir o recibir información.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Considere el plano π:x+y+z=1\pi: x + y + z = 1 y la recta rr que pasa por los puntos P=(0,0,6)P = (0, 0, 6) y Q=(1,2,3)Q = (1, 2, 3). Nota: Puede calcular la distancia de un punto de coordenadas (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) al plano de ecuación Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0 con la expresión ∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2\frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.
a
Estudie la posición relativa de la recta rr y el plano π\pi.1 pt
b
Calcule la distancia entre la recta rr y el plano π\pi.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Sean las matrices A=(1110−211−11)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} y B=(34−1−1−430−44)B = \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\ -1 & -4 & 3 \\ 0 & -4 & 4 \end{pmatrix}.
a
Compruebe que satisfacen la igualdad A2−12A⋅B=IA^2 - \frac{1}{2}A \cdot B = I, donde II es la matriz identidad de orden 3.1 pt
b
Utilizando la igualdad anterior, halle la matriz inversa de A:A−1A: A^{-1}.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente:{x+y+z=3x+y−z=12x+ay=2a\begin{cases} x + y + z = 3 \\ x + y - z = 1 \\ 2x + ay = 2a \end{cases}
a
Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro real aa.1 pt
b
Resuelva el sistema para el caso a=2a = 2.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
De las funciones f(x)f(x), f′(x)f'(x), g(x)g(x) y g′(x)g'(x), conocemos los valores siguientes:
xxf(x)f(x)f′(x)f'(x)xxg(x)g(x)g′(x)g'(x)
021011
10-6133
a
De la función f(x)f(x) sabemos también que la pendiente de la recta tangente en un punto de abscisa xx es 4x3−9x2−2x+14x^3 - 9x^2 - 2x + 1. Halle f(x)f(x).1 pt
b
Calcule (g∘f)′(1)(g \circ f)'(1).1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
En R3\mathbb{R}^3, sean la recta r:{x−z=22y+z=4r: \begin{cases} x - z = 2 \\ 2y + z = 4 \end{cases} y el punto P=(0,1,−1)P = (0, 1, -1).
a
Calcule la ecuación general (es decir, la que tiene la forma Ax+By+Cz=DAx + By + Cz = D) del plano π\pi perpendicular a la recta rr y que pasa por el punto PP.1 pt
b
Calcule el punto simétrico del punto PP respecto del plano x+y+z=−3x + y + z = -3.1 pt
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Sea la función f(x)=sen⁡xcos⁡2xf(x) = \frac{\sen x}{\cos^2 x}.
a
Calcule una primitiva de la función f(x)f(x).1 pt
b
Calcule el área limitada por la función f(x)f(x) y el eje de las abscisas entre las abscisas x=0x = 0 y x=π4x = \frac{\pi}{4}.1 pt
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