Matemáticas II · País Vasco 2025

Los estudios publicados en "Anales Españoles de Pediatría" respecto a las curvas de desarrollo fetal de los recién nacidos en el Hospital de Cruces en 2024 revelan que el peso de los 9476 recién nacidos sigue una distribución normal con media $3372\,\text{g}$ y desviación típica de $405\,\text{g}$.

Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} \alpha x - 2y + z = \alpha \\ x - 2y + \alpha z = \alpha \\ -2x + y + \alpha z = -2 \end{cases}$$

Sean $a$ y $b$ dos números reales y sea $$A = \begin{pmatrix} a + b & 2a \\ 2b & a + b \end{pmatrix}$$

Se consideran las siguientes rectas: $$r_1 \equiv \begin{cases} x + y - 2z = 0 \\ 2x - 3y + z = 1 \end{cases} \quad r_2 \equiv \begin{cases} x = 3t \\ y = 1 - 2t \\ z = 2 + t \end{cases}$$ Calcula la ecuación del plano que contiene a $r_1$ y pasa por el punto de intersección del plano $\pi \equiv x - 3y - 2z + 7 = 0$ y la recta $r_2$.

Se consideran la recta $r$ que pasa por los puntos $A(-4, 4, 1)$ y $B(1, 0, -1)$ y la recta $s$ que pasa por los puntos $C(-2, 7, -1)$ y $D(2, 3, -1)$.

Se considera la función $f(x) = x^4 + Ax^3 + x^2 + Bx$.

En la empresa "MARKOAK" fabrican marcos para cuadros. En esta ocasión les han solicitado marcos para 274 cuadros rectangulares. Todos los cuadros tienen las mismas dimensiones y una superficie de $0{,}3\,\text{m}^2$. Para cada marco van a emplear dos tipos de material: las partes horizontales serán de un material cuyo coste es de $12\,€/\text{m}$ y para las verticales utilizarán un material cuyo coste es de $10\,€/\text{m}$. La empresa que ha realizado el pedido quiere pagar lo mínimo posible.

Calcula las dos integrales siguientes:

Se consideran las curvas de ecuaciones $y = (x - 1)^2$, $y = (x + 1)^2$ y $y = 7 - 3x$.