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la cuevadel empollón
Matemáticas IIPaís VascoPAU 2025Ordinaria

Matemáticas II · País Vasco 2025

9 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Todas las respuestas deben responderse en el papel entregado para la realización del examen y nunca en los folios que contienen los enunciados. Este examen consta de 8 ejercicios distribuidos en 4 bloques de 2 ejercicios cada uno. Se realizará únicamente un ejercicio de cada bloque. En caso de responder a dos ejercicios de un bloque, solo se corregirá el que aparezca físicamente en primer lugar. Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Los estudios publicados en "Anales Españoles de Pediatría" respecto a las curvas de desarrollo fetal de los recién nacidos en el Hospital de Cruces en 2024 revelan que el peso de los 9476 recién nacidos sigue una distribución normal con media 3372 g3372\,\text{g} y desviación típica de 405 g405\,\text{g}.
a
Elegido al azar un recién nacido en el Hospital de Cruces en 2024, calcula la probabilidad de que su peso haya sido superior a 3 kg3\,\text{kg}.1 pt
b
Calcula el número probable de recién nacidos en el Hospital de Cruces en 2024 cuyo peso esté en el rango comprendido entre 3 kg3\,\text{kg} y 3,5 kg3{,}5\,\text{kg}.1 pt
c
Utilizando únicamente los resultados de los apartados anteriores, razona si es correcto afirmar que la cantidad de recién nacidos en el Hospital de Cruces en 2024 con un peso en el rango comprendido entre 3,1 kg3{,}1\,\text{kg} y 3,3 kg3{,}3\,\text{kg} deben estar entre 4500 y 4700.0,5 pts
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos

Responda solo a una de las opciones (2A o 2B).

Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:{αx−2y+z=αx−2y+αz=α−2x+y+αz=−2\begin{cases} \alpha x - 2y + z = \alpha \\ x - 2y + \alpha z = \alpha \\ -2x + y + \alpha z = -2 \end{cases}
a
Encuentra los valores del parámetro α\alpha para los que el sistema tiene una única solución.1 pt
b
¿Hay algún valor del parámetro α\alpha para el que el sistema no tiene solución? Razona tu respuesta.0,75 pts
c
¿Hay algún valor del parámetro α\alpha para el que el sistema tiene más de una solución? Si la respuesta es afirmativa, calcula esos valores de α\alpha y, para cada uno de ellos, encuentra dos soluciones distintas del sistema.0,75 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos

Responda solo a una de las opciones (2A o 2B).

Sean aa y bb dos números reales y seaA=(a+b2a2ba+b)A = \begin{pmatrix} a + b & 2a \\ 2b & a + b \end{pmatrix}
a
Decide si existe la inversa de AA en función de los valores de los parámetros aa y bb.0,75 pts
b
En el caso particular en que a=1a = 1 y b=2b = 2 resuelve, si es posible, la ecuación matricial AX−A3=(1001)AX - A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.1,75 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos

Responda solo a una de las opciones (3A o 3B).

Se consideran las siguientes rectas:r1≡{x+y−2z=02x−3y+z=1r2≡{x=3ty=1−2tz=2+tr_1 \equiv \begin{cases} x + y - 2z = 0 \\ 2x - 3y + z = 1 \end{cases} \quad r_2 \equiv \begin{cases} x = 3t \\ y = 1 - 2t \\ z = 2 + t \end{cases}Calcula la ecuación del plano que contiene a r1r_1 y pasa por el punto de intersección del plano π≡x−3y−2z+7=0\pi \equiv x - 3y - 2z + 7 = 0 y la recta r2r_2.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos

Responda solo a una de las opciones (3A o 3B).

Se consideran la recta rr que pasa por los puntos A(−4,4,1)A(-4, 4, 1) y B(1,0,−1)B(1, 0, -1) y la recta ss que pasa por los puntos C(−2,7,−1)C(-2, 7, -1) y D(2,3,−1)D(2, 3, -1).
a
Calcula la posición relativa de la recta rr con respecto de la recta ss.1,5 pts
b
En caso de ser paralelas o cruzarse, calcula la distancia entre ambas. Si se cortan, calcula el punto de intersección.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos

Responda solo a una de las opciones (4A o 4B).

Se considera la función f(x)=x4+Ax3+x2+Bxf(x) = x^4 + Ax^3 + x^2 + Bx.
a
Calcula los valores de los parámetros AA y BB para que las rectas tangentes a la gráfica de ff en los puntos de abscisa x=0x = 0 y x=1x = 1 sean horizontales.1 pt
b
Con los valores de AA y BB que has obtenido en el apartado anterior, estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de ff.1,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos

Responda solo a una de las opciones (4A o 4B).

En la empresa "MARKOAK" fabrican marcos para cuadros. En esta ocasión les han solicitado marcos para 274 cuadros rectangulares. Todos los cuadros tienen las mismas dimensiones y una superficie de 0,3 m20{,}3\,\text{m}^2. Para cada marco van a emplear dos tipos de material: las partes horizontales serán de un material cuyo coste es de 12 €/m12\,€/\text{m} y para las verticales utilizarán un material cuyo coste es de 10 €/m10\,€/\text{m}. La empresa que ha realizado el pedido quiere pagar lo mínimo posible.
a
Calcula cuáles deben ser las medidas de los cuadros para pagar el mínimo posible.2 pts
b
Calcula a cuánto ascenderá la factura.0,5 pts
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos

Responda solo a una de las opciones (5A o 5B).

Calcula las dos integrales siguientes:
a
∫2xcos⁡(2x+5) dx\int 2x \cos(2x + 5) \, dx.1,25 pts
b
∫x+495x2−2025 dx\int \frac{x + 495}{x^2 - 2025} \, dx.1,25 pts
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos

Responda solo a una de las opciones (5A o 5B).

Se consideran las curvas de ecuaciones y=(x−1)2y = (x - 1)^2, y=(x+1)2y = (x + 1)^2 y y=7−3xy = 7 - 3x.
a
Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado por esas tres curvas.1,25 pts
b
Calcula el área del recinto del apartado anterior.1,25 pts
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