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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2017Ordinaria

Matemáticas II · Baleares 2017

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Contestad de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Se dispone de 90 minutos. Cada problema se puntúa sobre 10 puntos. Supongamos que P1,P2,P3P_1, P_2, P_3 y P4P_4 son las calificaciones de los problemas sobre 10. La calificación final se obtiene de aplicar la fórmula siguiente: 415⋅(P1+P2+P3)+15⋅P4\frac{4}{15} \cdot (P_1 + P_2 + P_3) + \frac{1}{5} \cdot P_4. Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje matemático por el alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo. Puede utilizar calculadora de cualquier tipo, científica, gráfica o programable, pero no se autorizará el uso de las que lleven información almacenada o puedan transmitirla.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
Discutid para qué valores de mm el sistema siguiente es compatible:
a
Discutid para qué valores de mm el sistema siguiente es compatible:{mx+3z=mx+2y−z=12x+y−z=2\begin{cases} mx + 3z = m \\ x + 2y - z = 1 \\ 2x + y - z = 2 \end{cases}7 pts
b
Resolvedlo en el caso o los casos en que sea compatible indeterminado.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
El número de litros por metro cuadrado que llovió en un determinado lugar viene dado por la función siguiente:Q(t)=−t38+3t22−9t2+10Q(t) = - \frac{t^3}{8} + \frac{3t^2}{2} - \frac{9t}{2} + 10donde tt viene dado en días y va desde el día t=1t = 1 (lunes) hasta el día t=8t = 8 (lunes de la otra semana).
a
Determinad el día de la semana que llovió más y el que llovió menos. ¿Cuántos litros por metro cuadrado llovió estos dos días?6 pts
b
Haced un pequeño dibujo de la función anterior durante los 8 días.4 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Dadas las rectas r:x−12=y3=z+1−1r: \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z + 1}{-1} y s:x1=y−22=z+1−2s: \frac{x}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 1}{-2}:
a
Demostrad que se cruzan.4 pts
b
Calculad la distancia entre las rectas.6 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Lanzamos dos dados de 6 caras no trucados y consideramos los eventos siguientes: S7S_7: "la suma de los resultados de los dos dados es 7". PP: "el producto de los resultados de los dos dados es impar".
a
Calculad las probabilidades de que ocurran los eventos anteriores.6 pts
b
¿Son independientes S7S_7 y PP? Razonad la respuesta.4 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Tenemos tres grifos para llenar un depósito de agua y suponemos que el caudal que cae por cada grifo es constante. Si usamos el grifo 1, tardamos 10 horas en llenar el depósito; si usamos los grifos 1 y 2, tardamos 4 horas, y si los usamos los tres, tardamos una hora. Suponiendo que la suma de los caudales de los tres grifos es 10 litros por minuto, calculad el caudal del agua de cada grifo y el volumen del depósito.
a
Calculad el caudal del agua de cada grifo.8 pts
b
Calculad el volumen del depósito.2 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Tenemos que diseñar una ventana como la que sale en la figura adjunta, o sea, el polígono ACEDBACEDB, de 30 metros de perímetro. Se trata de un rectángulo con un triángulo equilátero encima. Calculad las dimensiones del rectángulo para que el área de la ventana sea máxima.
Esquema de una ventana compuesta por un rectángulo ACDB y un triángulo equilátero CED en la parte superior.
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Consideramos las rectas siguientes dependientes de un parámetro λ\lambda:r:{x=1+λty=−1+tz=3−2t,s:x−2λ=y2λ=z−3−1r: \begin{cases} x = 1 + \lambda t \\ y = -1 + t \\ z = 3 - 2t \end{cases}, \quad s: \frac{x - 2}{\lambda} = \frac{y}{2\lambda} = \frac{z - 3}{-1}
a
Calculad el valor de λ\lambda para que rr y ss se corten.7 pts
b
Calculad el punto de intersección para el valor de λ\lambda calculado.3 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
El test de inteligencia (CI) es una prueba que en teoría mide la inteligencia del individuo y da un valor que aproximadamente tiene de media 100. O sea, el nivel 100 se supone que es el nivel de inteligencia de una persona normal. Supongamos ahora que el nivel de inteligencia de una determinada población sigue una distribución normal de media 100 y desviación típica 10.
a
Calculad el porcentaje de la población que se considera superdotada. Una persona se considera superdotada si tiene un nivel de inteligencia superior a 130.3 pts
b
Calculad el porcentaje de la población con un nivel de inteligencia entre 90 y 110.3 pts
c
Nos dicen que el 70%70\% de la población tiene un nivel de inteligencia menor que un cierto umbral. Calculad este umbral.4 pts
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