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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2015Ordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2015

8 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Dada la función f(x)=esen⁡x+x2+ax+b,a,b∈Rf(x) = e^{\sen x} + x^2 + ax + b, a, b \in \mathbb{R}.
a)1,5 pts
Determina los parámetros a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} sabiendo que la gráfica de f(x)f(x) pasa por el punto (0,2)(0,2) y que en dicho punto tiene un extremo relativo.
b)1 pts
Para los valores de los parámetros encontrados, estudia si dicho extremo relativo es un máximo o un mínimo.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Calcula el dominio y las asíntotas de las siguientes funciones f(x)=2x−xx−2,g(x)=x3x2−4x+4f(x) = \frac{\sqrt{2x} - x}{x - 2}, \qquad g(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4x + 4}
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Dada la función g(x)={2x+4si −2≤x<0(2x−2)2si 0≤x≤1g(x) = \begin{cases} 2x + 4 & \text{si } -2 \leq x < 0 \\ (2x - 2)^2 & \text{si } 0 \leq x \leq 1 \end{cases}
a)0,5 pts
Esboza la región encerrada entre la gráfica de g(x)g(x) y el eje de abscisas.
b)2 pts
Calcula el área de la región anterior.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Dada la función f(x)=(x+1)e2xf(x) = (x + 1)e^{2x}, se pide:
a)1,25 pts
Calcula los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de f(x)f(x).
b)1,25 pts
Encuentra una primitiva de la función f(x)f(x) que pase por el origen de coordenadas.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
a)1 pts
Despeja XX en la ecuación matricial X⋅A+B=XX \cdot A + B = X, donde AA, BB y XX son matrices cuadradas de orden 3.
b)1,5 pts
Calcula XX, siendo A=(000100210)yB=(03−2−140121)A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -2 \\ -1 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
He pensado un número de tres cifras tal que la cifra de las decenas es la media aritmética de las otras dos. Además, si a dicho número se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, la diferencia es 198. Por último, las tres cifras de mi número suman 12.
a)1,5 pts
Plantea un sistema de ecuaciones lineales que recoja la información anterior y clasifícalo. Para ello, puede serte útil observar que el número cuya cifra de las centenas es xx, la de las decenas yy y la de las unidades zz, puede expresarse como 100x+10y+z100x + 10y + z.
b)1 pts
Determina, si el problema tiene solución, el número de tres cifras que he pensado.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
a)1,25 pts
Calcula la distancia del punto P(1,2,0)P(1, 2, 0) a la recta r≡{−x+y+2z=0y+z=1r \equiv \begin{cases} -x + y + 2z = 0 \\ y + z = 1 \end{cases}
b)1,25 pts
Calcula el punto simétrico de PP respecto de rr.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Dados los puntos A(1,λ+1,−1)A(1, \lambda + 1, -1), B(2,λ,0)B(2, \lambda, 0) y C(λ+2,0,1)C(\lambda + 2, 0, 1), se pide:
a)1,25 pts
Estudia si existe algún valor del parámetro λ∈R\lambda \in \mathbb{R} para el que AA, BB y CC estén alineados.
b)1,25 pts
Para λ=−1\lambda = -1, da la ecuación implícita del plano π\pi que contiene a los puntos AA, BB y CC.
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