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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2015Ordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2015

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntúa 2,5 puntos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dada la función f(x)=esen⁡x+x2+ax+b,a,b∈Rf(x) = e^{\sen x} + x^2 + ax + b, a, b \in \mathbb{R}.
a
Determina los parámetros a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} sabiendo que la gráfica de f(x)f(x) pasa por el punto (0,2)(0,2) y que en dicho punto tiene un extremo relativo.1,5 pts
b
Para los valores de los parámetros encontrados, estudia si dicho extremo relativo es un máximo o un mínimo.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dada la funcióng(x)={2x+4si −2≤x<0(2x−2)2si 0≤x≤1g(x) = \begin{cases} 2x + 4 & \text{si } -2 \leq x < 0 \\ (2x - 2)^2 & \text{si } 0 \leq x \leq 1 \end{cases}
a
Esboza la región encerrada entre la gráfica de g(x)g(x) y el eje de abscisas.0,5 pts
b
Calcula el área de la región anterior.2 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Despeja XX en la ecuación matricial X⋅A+B=XX \cdot A + B = X, donde AA, BB y XX son matrices cuadradas de orden 3.1 pt
b
Calcula XX, siendoA=(000100210)yB=(03−2−140121)A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -2 \\ -1 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Calcula la distancia del punto P(1,2,0)P(1, 2, 0) a la rectar≡{−x+y+2z=0y+z=1r \equiv \begin{cases} -x + y + 2z = 0 \\ y + z = 1 \end{cases}1,25 pts
b
Calcula el punto simétrico de PP respecto de rr.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Calcula el dominio y las asíntotas de las siguientes funcionesf(x)=2x−xx−2,g(x)=x3x2−4x+4f(x) = \frac{\sqrt{2x} - x}{x - 2}, \qquad g(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4x + 4}
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dada la función f(x)=(x+1)e2xf(x) = (x + 1)e^{2x}, se pide:
a
Calcula los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de f(x)f(x).1,25 pts
b
Encuentra una primitiva de la función f(x)f(x) que pase por el origen de coordenadas.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
He pensado un número de tres cifras tal que la cifra de las decenas es la media aritmética de las otras dos. Además, si a dicho número se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, la diferencia es 198. Por último, las tres cifras de mi número suman 12.
a
Plantea un sistema de ecuaciones lineales que recoja la información anterior y clasifícalo. Para ello, puede serte útil observar que el número cuya cifra de las centenas es xx, la de las decenas yy y la de las unidades zz, puede expresarse como 100x+10y+z100x + 10y + z.1,5 pts
b
Determina, si el problema tiene solución, el número de tres cifras que he pensado.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dados los puntos A(1,λ+1,−1)A(1, \lambda + 1, -1), B(2,λ,0)B(2, \lambda, 0) y C(λ+2,0,1)C(\lambda + 2, 0, 1), se pide:
a
Estudia si existe algún valor del parámetro λ∈R\lambda \in \mathbb{R} para el que AA, BB y CC estén alineados.1,25 pts
b
Para λ=−1\lambda = -1, da la ecuación implícita del plano π\pi que contiene a los puntos AA, BB y CC.1,25 pts
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