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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2014Extraordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2014

3 ejercicios

Instrucciones

1. Debe escogerse una sola de las opciones. Debe exponerse con claridad el planteamiento de la respuesta el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas. 3. Entre corchetes se indica la puntuación máxima de cada apartado. 4. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables. Tampoco está permitido el uso de dispositivos con acceso a Internet.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3,25 puntos
Considera las matrices A=(a11a10)A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, B=(xy)B = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, C=(110)C = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} y D=(zzz)D = \begin{pmatrix} z \\ z \\ z \end{pmatrix}.
a
Sabiendo que se verifica A⋅B=2C−DA \cdot B = 2C - D, plantea un sistema de ecuaciones lineales cuyas incógnitas son xx, yy, zz y donde aa es un parámetro.0,75 pts
b
Estudia el carácter del sistema para los distintos valores del parámetro aa y resuélvelo cuando sea compatible (calculando todas sus soluciones).2,5 pts
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
a
Se quiere vallar una finca rectangular que está junto a un camino. La valla del lado del camino cuesta 125125 euros el metro, y la de los otros tres lados cuesta 2525 euros el metro. Hallar el área del terreno de mayor superficie que podemos vallar con 30003000 euros.2 pts
b
Halla las tangentes a la gráfica de la función f(x)=2xx−1f(x) = \frac{2x}{x - 1} que son paralelas a la recta 2x+y=02x + y = 0.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
3,25 puntos
El vértice AA de un triángulo rectángulo está en la recta r≡{x=3y+z+1=0r \equiv \begin{cases} x = 3 \\ y + z + 1 = 0 \end{cases} y su hipotenusa tiene los vértices en los puntos B=(2,1,−1)B = (2, 1, -1) y C=(0,−1,3)C = (0, -1, 3).
a
Halla el punto AA y el área del triángulo de vértices AA, BB y CC.1,5 pts
b
Calcula la ecuación de la recta ss que pasa por los puntos BB y CC.0,5 pts
c
Estudia la posición relativa de las rectas rr y ss. En caso de que las rectas se corten, halla el punto de intersección.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
3,25 puntos
La suma de las tres cifras de un número es 1616 y la suma de la primera y tercera cifras es igual a kk veces la segunda. Permutando entre sí la primera y tercera cifras se obtiene un número que supera en 198198 unidades al número dado.
a
Plantea un sistema de ecuaciones lineales cuya resolución permita hallar el número dado.1 pt
b
Estudia para qué valores del parámetro kk el sistema tiene solución.1,25 pts
c
Para k=1k = 1, determina el número de tres cifras que cumple las condiciones del enunciado.1 pt
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
a
Considera la función g:R⟶Rg : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida porg(x)={xsi x≤0xsen⁡(x)si x>0g(x) = \begin{cases} x & \text{si } x \leq 0 \\ x \sen(x) & \text{si } x > 0 \end{cases}2,5 pts
a.1
Estudia la derivabilidad de gg.1 pt
a.2
Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas x=−1x = -1 y x=π2x = \frac{\pi}{2}.1,5 pts
b
La gráfica adjunta corresponde a la función derivada f′f' de una función ff. Estudia el crecimiento y decrecimiento de ff y di si tiene un máximo o un mínimo.1 pt
Gráfica de la función derivada f'(x) que muestra una línea recta con pendiente positiva cruzando el eje x en x = -2 y el eje y en y = 1.
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Ejercicio 3

3
3,25 puntos
Considera la rectar≡{x+z−3=0x−2y−z+3=0r \equiv \begin{cases} x + z - 3 = 0 \\ x - 2y - z + 3 = 0 \end{cases}
a
Calcula el simétrico del punto P=(4,1,−1)P = (4, 1, -1) respecto de la recta rr.2 pts
b
Halla la ecuación general del plano π\pi que contiene a la recta rr y al punto PP.1,25 pts
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