Matemáticas II · Cantabria 2014

Sabiendo que se verifica $A \cdot B = 2C - D$, plantea un sistema de ecuaciones lineales cuyas incógnitas son $x$, $y$, $z$ y donde $a$ es un parámetro.

Estudia el carácter del sistema para los distintos valores del parámetro $a$ y resuélvelo cuando sea compatible (calculando todas sus soluciones).

Plantea un sistema de ecuaciones lineales cuya resolución permita hallar el número dado.

Estudia para qué valores del parámetro $k$ el sistema tiene solución.

Para $k = 1$, determina el número de tres cifras que cumple las condiciones del enunciado.

Se quiere vallar una finca rectangular que está junto a un camino. La valla del lado del camino cuesta $125$ euros el metro, y la de los otros tres lados cuesta $25$ euros el metro. Hallar el área del terreno de mayor superficie que podemos vallar con $3000$ euros.

Halla las tangentes a la gráfica de la función $f(x) = \frac{2x}{x - 1}$ que son paralelas a la recta $2x + y = 0$.

Considera la función $g : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ definida por $$g(x) = \begin{cases} x & \text{si } x \leq 0 \\ x \sen(x) & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

La gráfica adjunta corresponde a la función derivada $f'$ de una función $f$. Estudia el crecimiento y decrecimiento de $f$ y di si tiene un máximo o un mínimo.

Halla el punto $A$ y el área del triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$.

Calcula la ecuación de la recta $s$ que pasa por los puntos $B$ y $C$.

Estudia la posición relativa de las rectas $r$ y $s$. En caso de que las rectas se corten, halla el punto de intersección.

Calcula el simétrico del punto $P = (4, 1, -1)$ respecto de la recta $r$.

Halla la ecuación general del plano $\pi$ que contiene a la recta $r$ y al punto $P$.