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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2018OrdinariaReserva A

Matemáticas II · Andalucía 2018

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Se desea construir un rectángulo, como el de la figura, de área máxima. La base está situada sobre el eje OX, un vértice está en la recta y = x y el otro, en la recta y = 4 − x. Se pide:
a
Halla la altura del rectángulo en función de a (ver la figura).0,25 pts
b
Halla la base del rectángulo en función de a.1 pt
c
Encuentra el valor de a que hace máximo el área del rectángulo.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea f : ℝ → ℝ la función definida por f(x) = e^(2−x).
a
Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2.0,75 pts
b
Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, el eje de ordenadas y la recta x + y = 3.0,5 pts
c
Calcula el área del recinto indicado.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera las matrices A = [[2, −1, λ], [2, −λ, 1], [2λ, −1, 1]], B = [[−1], [1], [0]] y X = [[x], [y], [z]].
a
Discute el rango de A según los valores del parámetro λ.1,25 pts
b
Para λ = −2, estudia y resuelve el sistema dado por AX = B.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera el plano π de ecuación x + 2y + z = 6.
a
Determina la recta perpendicular a π que pasa por el origen de coordenadas.1 pt
b
Halla el punto simétrico del origen de coordenadas con respecto a π.0,5 pts
c
Calcula el volumen del tetraedro determinado por el origen de coordenadas y los puntos de corte de π con los ejes de coordenadas.1 pt
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considera la función f : ℝ → ℝ dada por f(x) = −x·e^(x−1) si x ≤ 0; x·e^(x−1) si 0 < x ≤ 1; x·e^(1−x) si 1 < x.
a
Estudia la derivabilidad de f en x = 0 y en x = 1.1 pt
b
Estudia la existencia de asíntotas horizontales de la gráfica de f.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considera la función f : (−e/2, +∞) → ℝ definida por f(x) = ln(2x + e), donde ln denota logaritmo neperiano.
a
Haz un esbozo de la gráfica de f calculando sus puntos de corte con los ejes coordenados.0,75 pts
b
Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y los ejes de coordenadas.1,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera las matrices A = [[−1, 0, 0], [0, 0, −1], [0, −1, 0]], B = [[−2, 2, −1], [1, 0, 1], [−1, 2, −2]], C = [[1], [−2], [3]] y D = (4 −5 6). Determina, si existe, la matriz X que verifica que A²X − BA + X = CD.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera las rectas r y s dadas por r ≡ x − 2 = y − 2 = z y s ≡ {x = 4 + t; y = 4 + t; z = mt}.
a
Determina m para que r y s sean paralelas.1 pt
b
Halla, si existe, un valor de m para el que ambas rectas sean la misma.0,5 pts
c
Para m = 1, calcula la ecuación del plano que contiene a r y a s.1 pt
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