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la cuevadel empollón
Matemáticas IIExtremaduraPAU 2016Extraordinaria

Matemáticas II · Extremadura 2016

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno elegirá una de las dos opciones propuestas. Cada una de las cuatro preguntas de la opción elegida puntuará como máximo 2,5 puntos. Cuando la solución de una cuestión se base en un cálculo, éste deberá incluirse en la respuesta dada.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Determine los números reales aa y bb sabiendo que el sistema de ecuaciones lineales{ax+by+3z=2x+2y−z=03x−y+z=1\begin{cases} ax + by + 3z = 2 \\ x + 2y - z = 0 \\ 3x - y + z = 1 \end{cases}tiene al menos dos soluciones distintas.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
En R3\mathbb{R}^3, sea Π\Pi el plano de ecuación x−z=2x - z = 2, y sea rr la recta que pasa por los puntos A=(1,0,0)A = (1, 0, 0) y B=(0,0,b)B = (0, 0, b).
a
Calcule un vector director de la recta rr.0,5 pts
b
Determine bb para que rr y Π\Pi sean perpendiculares.0,75 pts
c
Determine bb para que rr y Π\Pi sean paralelos.0,75 pts
d
¿Está rr contenida en Π\Pi para algún valor de bb? Razone la respuesta.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Enuncie el teorema de Rolle.1 pt
b
Dado un número real λ\lambda, utilice el teorema de Rolle para probar que el polinomio P(x)=x3+x+λP(x) = x^3 + x + \lambda no tiene dos raíces distintas.1 pt
c
¿Tiene el polinomio P(x)=x3+x+λP(x) = x^3 + x + \lambda alguna raíz? Justifique la respuesta.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Calcule el valor de la integral definida∫0a1x+1dx,\int_{0}^{a} \frac{1}{\sqrt{x} + 1} dx,donde a=(e−1)2a = (e - 1)^2 [El cálculo de la integral indefinida puede hacerse con el cambio de variable t=xt = \sqrt{x} (es decir, x=t2x = t^2), o también con el cambio de variable u=x+1u = \sqrt{x} + 1.]
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dadas las matrices A=(1−101)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} y B=(20−12)B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, obtenga las matrices XX que cumplen la igualdad AX+B2−2A=0AX + B^2 - 2A = 0.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
En R3\mathbb{R}^3, considere el punto P=(1,0,1)P = (1, 0, 1) y los planos Π1≡x+z=0\Pi_1 \equiv x + z = 0 y Π2≡y−z=0\Pi_2 \equiv y - z = 0. Obtenga un plano Π3\Pi_3 que cumpla a la vez las siguientes condiciones: (i) P∈Π3P \in \Pi_3; (ii) Π1\Pi_1 corta a Π3\Pi_3 en una recta; (iii) los planos Π1\Pi_1, Π2\Pi_2 y Π3\Pi_3 no tienen puntos en común.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Estudie el dominio, el signo, las asíntotas verticales y las asíntotas horizontales de la funciónf(x)=2x−1−x2+xf(x) = \frac{2x - 1}{-x^2 + x}2 pts
b
Utilizando los datos obtenidos en el apartado anterior, represente, aproximadamente, la gráfica de la función f(x)f(x).0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Escriba la "regla de la cadena" para la derivación de funciones compuestas.0,5 pts
b
Calcule la derivada de la funciónf(x)=ln⁡(cos⁡2x),−π2<x<π2f(x) = \ln(\cos^2 x), \quad -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}1 pt
c
Obtenga, utilizando el apartado (b), una primitiva G(x)G(x) de la función g(x)=tg⁡xg(x) = \tg x que cumpla G(0)=1G(0) = 1.1 pt
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