Matemáticas II · Extremadura 2016

Determine los números reales $a$ y $b$ sabiendo que el sistema de ecuaciones lineales $$\begin{cases} ax + by + 3z = 2 \\ x + 2y - z = 0 \\ 3x - y + z = 1 \end{cases}$$ tiene al menos dos soluciones distintas.

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, obtenga las matrices $X$ que cumplen la igualdad $AX + B^2 - 2A = 0$.

En $\mathbb{R}^3$, sea $\Pi$ el plano de ecuación $x - z = 2$, y sea $r$ la recta que pasa por los puntos $A = (1, 0, 0)$ y $B = (0, 0, b)$.

En $\mathbb{R}^3$, considere el punto $P = (1, 0, 1)$ y los planos $\Pi_1 \equiv x + z = 0$ y $\Pi_2 \equiv y - z = 0$. Obtenga un plano $\Pi_3$ que cumpla a la vez las siguientes condiciones: (i) $P \in \Pi_3$; (ii) $\Pi_1$ corta a $\Pi_3$ en una recta; (iii) los planos $\Pi_1$, $\Pi_2$ y $\Pi_3$ no tienen puntos en común.

Calcule el valor de la integral definida $$\int_{0}^{a} \frac{1}{\sqrt{x} + 1} dx,$$ donde $a = (e - 1)^2$ [El cálculo de la integral indefinida puede hacerse con el cambio de variable $t = \sqrt{x}$ (es decir, $x = t^2$), o también con el cambio de variable $u = \sqrt{x} + 1$.]