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la cuevadel empollón
Matemáticas IIExtremaduraPAU 2016Ordinaria

Matemáticas II · Extremadura 2016

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno elegirá una de las dos opciones propuestas. Cada una de las cuatro preguntas de la opción elegida puntuará como máximo 2'5 puntos. Cuando la solución de una cuestión se base en un cálculo, éste deberá incluirse en la respuesta dada.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere la función f(x)=sen⁡2xf(x) = \sen^2 x (tenga en cuenta que el ángulo xx se mide en radianes).
a
Estudie los extremos relativos de f(x)f(x) en el intervalo 0<x<π0 < x < \pi.1,25 pts
b
Estudie los puntos de inflexión de f(x)f(x) en el intervalo 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcule una primitiva F(x)F(x) de la funciónf(x)=−2xe−x2−2xe1−x2+2xcos⁡(x2)f(x) = \frac{-2x}{e - x^2} - 2x e^{1 - x^2} + 2x \cos(x^2)que cumpla F(0)=1F(0) = 1.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Discuta, en función del parámetro bb, el sistema de ecuaciones{3y+bz=b−2bx+by=1−x+z=b−3\begin{cases} 3y + bz = b - 2 \\ bx + by = 1 \\ -x + z = b - 3 \end{cases}(no es necesario resolverlo en ningún caso).
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considere en R3\mathbb{R}^3 los puntos A=(1,1,−1)A = (1, 1, -1) y B=(0,1,1)B = (0, 1, 1), y los planos Π1:x+y=0\Pi_1 : x + y = 0 y Π2:x−z=0\Pi_2 : x - z = 0.
a
Calcule las ecuaciones paramétricas de la recta rr que pasa por los puntos AA y BB.1 pt
b
Obtenga un punto PP de la recta rr cuya distancia al plano Π1\Pi_1 sea el doble de su distancia al plano Π2\Pi_2, esto es, d(P,Π1)=2d(P,Π2)d(P, \Pi_1) = 2 d(P, \Pi_2).1,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere la siguiente función definida a partir de los parámetros α,β∈R\alpha, \beta \in \mathbb{R}:f(x)={x2−3x+αsi x<0−x2+βx+β+1si x≥0f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x + \alpha & \text{si } x < 0 \\ -x^2 + \beta x + \beta + 1 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}
a
Obtenga la relación que debe haber entre α\alpha y β\beta para que ff sea continua en x=0x = 0.1 pt
b
Calcule α\alpha y β\beta para que ff sea derivable en x=0x = 0.1 pt
c
Para los valores α\alpha y β\beta obtenidos en el apartado (b), ¿es f′f' derivable en x=0x = 0? Razone la respuesta.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Calcule los puntos en los que la recta y=x−1y = x - 1 y el eje OXOX cortan a la parábola y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5.0,5 pts
b
Dibuje, aproximadamente, el recinto plano limitado entre la parábola y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5 y la recta y=x−1y = x - 1.0,5 pts
c
Calcule el área de dicho recinto plano.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considere las matrices A=(02−22−12220), B=(101010−101)A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}, \ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
a
Calcule la matriz C=2A−B2C = 2A - B^2.1 pt
b
Halle la inversa A−1A^{-1} de la matriz AA.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sean en R3\mathbb{R}^3 los vectores u⃗=(1,1,0)\vec{u} = (1, 1, 0) y v⃗=(−1,0,1)\vec{v} = (-1, 0, 1).
a
Calcule el producto vectorial u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v}.0,75 pts
b
Obtenga un vector e⃗1\vec{e}_1 de R3\mathbb{R}^3 que cumpla cos⁡∡(e⃗1,u⃗)=0\cos \measuredangle (\vec{e}_1, \vec{u}) = 0.0,75 pts
c
Obtenga un vector e⃗2\vec{e}_2 de R3\mathbb{R}^3 que cumpla sen⁡∡(e⃗2,v⃗)=0\sen \measuredangle (\vec{e}_2, \vec{v}) = 0.1 pt
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