Matemáticas II · Extremadura 2016

Considere la función $f(x) = \sen^2 x$ (tenga en cuenta que el ángulo $x$ se mide en radianes).

Considere la siguiente función definida a partir de los parámetros $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$: $$f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x + \alpha & \text{si } x < 0 \\ -x^2 + \beta x + \beta + 1 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$

Calcule una primitiva $F(x)$ de la función $$f(x) = \frac{-2x}{e - x^2} - 2x e^{1 - x^2} + 2x \cos(x^2)$$ que cumpla $F(0) = 1$.

Discuta, en función del parámetro $b$, el sistema de ecuaciones $$\begin{cases} 3y + bz = b - 2 \\ bx + by = 1 \\ -x + z = b - 3 \end{cases}$$ (no es necesario resolverlo en ningún caso).

Considere las matrices $A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}, \ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Considere en $\mathbb{R}^3$ los puntos $A = (1, 1, -1)$ y $B = (0, 1, 1)$, y los planos $\Pi_1 : x + y = 0$ y $\Pi_2 : x - z = 0$.

Sean en $\mathbb{R}^3$ los vectores $\vec{u} = (1, 1, 0)$ y $\vec{v} = (-1, 0, 1)$.