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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2026Extraordinaria

Matemáticas II · Baleares 2026

5 ejercicios

Instrucciones

Tiempo
No lo indica el examen
Qué responder
Responde a las cinco preguntas: las tres primeras son obligatorias; en la cuarta, elige P4.1 o P4.2, y en la quinta, P5.1 o P5.2.
Puntuación
La puntuación de cada ejercicio y apartado figura en el enunciado.
Material
Calculadora científica básica. No se permiten calculadoras gráficas ni programables. Se pueden usar reglas.
Además
Justifica las respuestas utilizando lenguaje matemático y/o no matemático, según corresponda. En caso de contestar dos problemas de una misma parte, solo se evaluará el primero.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Parte A
En un estudio de astronomía, se modeliza una constelación artificial formada por satélites que orbitan alrededor de la Tierra. Considerando nuestro sistema de coordenadas con origen en el centro de la Tierra (donde las unidades representan decenas de miles de kilómetros), se sitúan 55 satélites, AA, BB, CC, DD y EE, con coordenadasA(1,2,3),B(3,2,1),C(5,4,3),D(2,1,1),E(4,3,1).\begin{gathered}A(1, 2, 3),\quad B(3, 2, 1),\\ C(5, 4, 3),\quad D(2, 1, 1),\\ E(4, 3, 1).\end{gathered}Se dice que distintos satélites forman un plano orbital si estos, junto con el centro de la Tierra, son coplanarios.
a
Determina si los satélites AA, BB y CC forman un plano orbital.1 pt
b
Proporciona un punto FF (distinto del origen) donde se podría colocar un sexto satélite para asegurar que los satélites DD, EE y FF forman otro plano orbital.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Parte A
Dada la función f(x)=x4−6x3+exxxf(x)=\frac{x^4-6x^3+e^x\sqrt{x}}{\sqrt{x}}, que tiene la siguiente representación gráfica:
Gráfica de f para x positivo, con cuadrícula de paso 0,5 en horizontal y 2 en vertical. El eje horizontal está rotulado de −1 a 5 y el vertical de −24 a 4.
a
Calcula los límites de la función en los extremos de su dominio.1 pt
b
Calcula el área comprendida entre f(x)f(x), y=−1y=-1, x=2x=2 y x=4x=4.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Parte A
En un instituto de 6060 alumnos se ha realizado un estudio sobre la práctica del baloncesto entre el alumnado. Los datos recogidos indican que el 60 %60\,\% de ellos juega al baloncesto, el 35 %35\,\% forma parte de un equipo federado y el 25 %25\,\% juega al baloncesto y está federado.
a
¿Hay algún alumno que esté federado, pero no juegue al baloncesto? En caso afirmativo, ¿cuántos?1 pt
b
¿Cuál es la probabilidad de que un alumno forme parte de un equipo federado sabiendo que juega al baloncesto?1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Parte B

Contestad solo UNA de las siguientes preguntas (P4.1 o P4.2)

Dada la función f(x)=x3+1x+2f(x)=\frac{x^3+1}{x+2},
a
Demuestra que f(x)f(x) tiene al menos un punto crítico en cada uno de los siguientes intervalos: (−3; −2,5)(-3;\ -2{,}5), (−1,0)(-1, 0) y (0,1)(0, 1).1,25 pts
b
Sabiendo que f(x)f(x) tiene exactamente 33 puntos críticos, uno en cada intervalo del apartado anterior, indica si son máximos, mínimos o puntos de inflexión.0,75 pts
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Contestad solo UNA de las siguientes preguntas (P4.1 o P4.2)

Un equipo de investigadores estudia la distancia recorrida por un delfín desde el punto en el que ha sido liberado dentro de una reserva marina. La distancia recorrida al cabo de tt segundos viene dada por la funciónd(t)=140(1−e−0,05t),d(t)=140\left(1-e^{-0{,}05t}\right),donde t≥0t\geq 0 y d(t)d(t) es la distancia recorrida en metros. Sea d′(t)d'(t) la velocidad, en m/s\text{m/s}, en el instante tt.
a
Calcula a qué valor tiende la distancia recorrida por el delfín a lo largo del tiempo.0,5 pts
b
Estudia el comportamiento de la velocidad del delfín, indicando en qué momentos aumenta o disminuye, así como cuáles son las velocidades mínima y la máxima observadas en este estudio.1,5 pts
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Parte B

Contestad solo UNA de las siguientes preguntas (P5.1 o P5.2)

Sean AA, BB, CC y DD cuatro matrices de dimensiones 2×32\times 3, 1×31\times 3, 2×32\times 3 y 2×32\times 3, respectivamente. Indica, justificadamente, si se pueden realizar las siguientes operaciones: (i) ACAC, (ii) D−1AD^{-1}A, (iii) B(A+C)⊤B(A+C)^{\top}, donde el superíndice ⊤\top indica la matriz transpuesta y el superíndice −1-1 indica la matriz inversa. En caso afirmativo, indica la dimensión de la matriz resultante.
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Contestad solo UNA de las siguientes preguntas (P5.1 o P5.2)

Queremos determinar el coste por hora de tres servicios que ofrece una empresa de alquiler de material audiovisual. Estos servicios son: iluminación profesional, con un coste de x €/horax\,\text{€/hora}; equipo de sonido, con un coste de y €/horay\,\text{€/hora}; cámaras de grabación, con un coste de z €/horaz\,\text{€/hora}. Se han registrado los gastos totales asociados a tres eventos diferentes: Evento 1: 2x+y+z=65002x+y+z=6500, Evento 2: 4x+5y+7z=225004x+5y+7z=22500, Evento 3: x+2y+3z=8000x+2y+3z=8000. Justifica si, con la información proporcionada, se pueden determinar de manera única los costes de los tres servicios.
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