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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2003Ordinaria

Matemáticas II · Galicia 2003

16 ejercicios

Instrucciones

El alumno debe responder a cuatro preguntas. Una sola pregunta de cada un de los cuatro bloques temáticos: Álgebra, Geometría, Análisis Matemático y Estadística. La puntuación máxima de cada pregunta es de 2,5 puntos. Solamente se puntuará la primera pregunta respondida de cada uno de los cuatro bloques temáticos. No se puntuarán respuestas (Sí o No) que no vengan acompañadas de una justificación.

Ejercicio 1 · A · Álgebra

1Opción A
2,5 puntos
Álgebra

Responda a una de las dos preguntas de Álgebra.

Se consideran dos matrices AA y BB que verifican A+B=(3270)A + B = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 0 \end{pmatrix} y A⋅B=(23−10)A \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Calcule la matriz A2−B2A^2 - B^2.
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Ejercicio 1 · A · Análisis matemático

1Opción A
2,5 puntos
Análisis matemático

Responda a una de las dos preguntas de Análisis matemático.

a
¿Qué es un punto de inflexión de una función?0,5 pts
b
Halle la condición que debe cumplir λ\lambda para que el polinomio x4+x3+λx2x^4 + x^3 + \lambda x^2 sea cóncavo en algún intervalo. Determine el intervalo de concavidad en función de λ\lambda.2 pts
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Ejercicio 1 · A · Estadística

1Opción A
2,5 puntos
Estadística

Responda a una de las dos preguntas de Estadística.

Determine el valor de KK para el que la función f(x)={Ksen⁡(x)si x∈[0,π]0en otro casof(x) = \begin{cases} K \sen(x) & \text{si } x \in [0, \pi] \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases} sea una función de densidad. Determine para ese valor de KK la expresión de la función de distribución y calcule la media de la variable aleatoria que tiene por función de densidad a ff.
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Ejercicio 1 · A · Geometría

1Opción A
2,5 puntos
Geometría

Responda a una de las dos preguntas de Geometría.

a
Definición de módulo de un vector. Propiedades.1 pt
b
Determine los valores de aa y bb, a>0a > 0, para que los vectores v⃗1=(a,b,b)\vec{v}_1 = (a, b, b), v⃗2=(b,a,b)\vec{v}_2 = (b, a, b) y v⃗3=(b,b,a)\vec{v}_3 = (b, b, a) sean unitarios y ortogonales dos a dos.1,5 pts
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Ejercicio 1 · B · Álgebra

1Opción B
2,5 puntos
Álgebra

Responda a una de las dos preguntas de Álgebra.

Demuestre que la matriz A=(2112)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} verifica una ecuación del tipo A2+αA+βI=0A^2 + \alpha A + \beta I = 0, determinando α\alpha y β\beta (II denota la matriz identidad). Utilice este hecho para calcular la inversa de AA.
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Ejercicio 1 · B · Análisis matemático

1Opción B
2,5 puntos
Análisis matemático

Responda a una de las dos preguntas de Análisis matemático.

Dada la parábola f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c, determine los valores de aa, bb y cc sabiendo que ff tiene un máximo en el punto de abscisa x=−12x = -\frac{1}{2} y la recta tangente a ff en el punto (1,3)(1, 3) es y=−3x+6y = -3x + 6.
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Ejercicio 1 · B · Estadística

1Opción B
2,5 puntos
Estadística

Responda a una de las dos preguntas de Estadística.

a
¿Cuándo una distribución normal se considera una aproximación aceptable de una distribución binomial?1 pt
b
La distribución normal N(32,4)N(32, 4) es una buena aproximación para la distribución binomial de parámetros: (a) n=32,p=4n=32, p=4 (b) n=32,p=12n=32, p=\frac{1}{2} (c) nn cualquiera, p=qp=q (d) n=64,p=12n=64, p=\frac{1}{2} Escoja una de las cuatro opciones anteriores y justifique su respuesta.1,5 pts
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Ejercicio 1 · B · Geometría

1Opción B
2,5 puntos
Geometría

Responda a una de las dos preguntas de Geometría.

a
¿Qué significa geométricamente que tres vectores del espacio tridimensional sean linealmente dependientes?0,5 pts
b
Dados los vectores u⃗1=(1,2,1)\vec{u}_1 = (1, 2, 1), u⃗2=(1,3,2)\vec{u}_2 = (1, 3, 2), v⃗1=(1,1,0)\vec{v}_1 = (1, 1, 0) y v⃗2=(3,8,5)\vec{v}_2 = (3, 8, 5), demuestre que los vectores u⃗1\vec{u}_1 y u⃗2\vec{u}_2 dependen linealmente de los vectores v⃗1\vec{v}_1 y v⃗2\vec{v}_2. Determine la ecuación general del plano que pasa por el origen y contiene los vectores v⃗1\vec{v}_1 y v⃗2\vec{v}_2, y determine la posición relativa de los vectores u⃗1\vec{u}_1 y u⃗2\vec{u}_2 respecto a ese plano.2 pts
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Ejercicio 2 · A · Álgebra

2Opción A
2,5 puntos
Álgebra

Responda a una de las dos preguntas de Álgebra.

Calcule, por transformaciones elementales (sin emplear la regla de Sarrus) y justificando los pasos, el determinante:
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Ejercicio 2 · A · Análisis matemático

2Opción A
2,5 puntos
Análisis matemático

Responda a una de las dos preguntas de Análisis matemático.

a
Enunciado e interpretación geométrica del teorema de Bolzano.1 pt
b
¿Se puede asegurar, empleando el teorema de Bolzano, que la función f(x)=tg⁡(x)f(x) = \tg(x) tiene una raíz en el intervalo [π4,3π4][\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]? Razone la respuesta. Esboce la gráfica de ff en ese intervalo. Nota: tg⁡\tg denota la función tangente.1,5 pts
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Ejercicio 2 · A · Estadística

2Opción A
2,5 puntos
Estadística

Responda a una de las dos preguntas de Estadística.

El 1%1\% de los individuos de una población supera los 185 cm185\,\text{cm} de estatura, mientras que el 3%3\% no llega a 160 cm160\,\text{cm}. Si se supone que la estatura sigue una distribución normal, calcule los parámetros de esa distribución.
Datos
  • P(Z≤2,33)=0,99P(Z \leq 2{,}33) = 0{,}99
  • P(Z≤1,89)=0,97P(Z \leq 1{,}89) = 0{,}97
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Ejercicio 2 · A · Geometría

2Opción A
2,5 puntos
Geometría

Responda a una de las dos preguntas de Geometría.

a
Ángulo que forman una recta y un plano.1 pt
b
Determine el ángulo que forman el plano π:x+2y−3z+4=0\pi: x + 2y - 3z + 4 = 0 y la recta r:{2x−y=03y+2z=12r: \begin{cases} 2x - y = 0 \\ 3y + 2z = 12 \end{cases}1,5 pts
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Ejercicio 2 · B · Álgebra

2Opción B
2,5 puntos
Álgebra

Responda a una de las dos preguntas de Álgebra.

Discuta e interprete geométricamente, según el parámetro aa, el sistema de ecuaciones:{3x−y=ax5x+y+2z=ay4y+3x=az\begin{cases} 3x - y = ax \\ 5x + y + 2z = ay \\ 4y + 3x = az \end{cases}
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Ejercicio 2 · B · Análisis matemático

2Opción B
2,5 puntos
Análisis matemático

Responda a una de las dos preguntas de Análisis matemático.

Determine el área de la región limitada por la gráfica de la función f(x)=x2+x+5f(x) = x^2 + x + 5, el eje OXOX y las rectas x=−12x = -\frac{1}{2} y y=x+6y = x + 6.
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Ejercicio 2 · B · Estadística

2Opción B
2,5 puntos
Estadística

Responda a una de las dos preguntas de Estadística.

a
Propiedades de la función de distribución de una variable aleatoria continua.1 pt
b
La función F(X)={0x<1k(x2−1)1≤x≤31x>3F(X) = \begin{cases} 0 & x < 1 \\ k(x^2 - 1) & 1 \le x \le 3 \\ 1 & x > 3 \end{cases} es función de distribución de cierta variable continua XX, si: (a) k<0k < 0 (b) k=1k = 1 (c) k=18k = \frac{1}{8} (d) nunca. Elija una de las opciones anteriores y justifique su respuesta.1,5 pts
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Ejercicio 2 · B · Geometría

2Opción B
2,5 puntos
Geometría

Responda a una de las dos preguntas de Geometría.

a
Definición de producto escalar de dos vectores. Interpretación geométrica.1,5 pts
b
Determine la ecuación que satisfacen los vectores ortogonales a la recta r:{2x+y−z=0x−y+3z=0r: \begin{cases} 2x + y - z = 0 \\ x - y + 3 z = 0 \end{cases}. Interprete geométricamente el resultado obtenido.1 pt
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