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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2003Ordinaria

Matemáticas II · Galicia 2003

16 ejercicios

Ejercicio 1 · A · Álgebra

1A · Álgebra
2,5 puntos
Álgebra

Responda a una de las dos preguntas de Álgebra.

Se consideran dos matrices AA y BB que verifican A+B=(3270)A + B = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 0 \end{pmatrix} y A⋅B=(23−10)A \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Calcule la matriz A2−B2A^2 - B^2.
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Ejercicio 1 · A · Análisis matemático

1A · Análisis matemático
2,5 puntos
Análisis matemático

Responda a una de las dos preguntas de Análisis matemático.

a)0,5 pts
¿Qué es un punto de inflexión de una función?
b)2 pts
Halle la condición que debe cumplir λ\lambda para que el polinomio x4+x3+λx2x^4 + x^3 + \lambda x^2 sea cóncavo en algún intervalo. Determine el intervalo de concavidad en función de λ\lambda.
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Ejercicio 1 · A · Estadística

1A · Estadística
2,5 puntos
Estadística

Responda a una de las dos preguntas de Estadística.

Determine el valor de KK para el que la función f(x)={Ksen⁡(x)si x∈[0,π]0en otro casof(x) = \begin{cases} K \sen(x) & \text{si } x \in [0, \pi] \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases} sea una función de densidad. Determine para ese valor de KK la expresión de la función de distribución y calcule la media de la variable aleatoria que tiene por función de densidad a ff.
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Ejercicio 1 · A · Geometría

1A · Geometría
2,5 puntos
Geometría

Responda a una de las dos preguntas de Geometría.

a)1 pts
Definición de módulo de un vector. Propiedades.
b)1,5 pts
Determine los valores de aa y bb, a>0a > 0, para que los vectores v⃗1=(a,b,b)\vec{v}_1 = (a, b, b), v⃗2=(b,a,b)\vec{v}_2 = (b, a, b) y v⃗3=(b,b,a)\vec{v}_3 = (b, b, a) sean unitarios y ortogonales dos a dos.
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Ejercicio 1 · B · Álgebra

1B · Álgebra
2,5 puntos
Álgebra

Responda a una de las dos preguntas de Álgebra.

Demuestre que la matriz A=(2112)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} verifica una ecuación del tipo A2+αA+βI=0A^2 + \alpha A + \beta I = 0, determinando α\alpha y β\beta (II denota la matriz identidad). Utilice este hecho para calcular la inversa de AA.
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Ejercicio 1 · B · Análisis matemático

1B · Análisis matemático
2,5 puntos
Análisis matemático

Responda a una de las dos preguntas de Análisis matemático.

Dada la parábola f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c, determine los valores de aa, bb y cc sabiendo que ff tiene un máximo en el punto de abscisa x=−12x = -\frac{1}{2} y la recta tangente a ff en el punto (1,3)(1, 3) es y=−3x+6y = -3x + 6.
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Ejercicio 1 · B · Estadística

1B · Estadística
2,5 puntos
Estadística

Responda a una de las dos preguntas de Estadística.

a)1 pts
¿Cuándo una distribución normal se considera una aproximación aceptable de una distribución binomial?
b)1,5 pts
La distribución normal N(32,4)N(32, 4) es una buena aproximación para la distribución binomial de parámetros: (a) n=32,p=4n=32, p=4 (b) n=32,p=12n=32, p=\frac{1}{2} (c) nn cualquiera, p=qp=q (d) n=64,p=12n=64, p=\frac{1}{2} Escoja una de las cuatro opciones anteriores y justifique su respuesta.
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Ejercicio 1 · B · Geometría

1B · Geometría
2,5 puntos
Geometría

Responda a una de las dos preguntas de Geometría.

a)0,5 pts
¿Qué significa geométricamente que tres vectores del espacio tridimensional sean linealmente dependientes?
b)2 pts
Dados los vectores u⃗1=(1,2,1)\vec{u}_1 = (1, 2, 1), u⃗2=(1,3,2)\vec{u}_2 = (1, 3, 2), v⃗1=(1,1,0)\vec{v}_1 = (1, 1, 0) y v⃗2=(3,8,5)\vec{v}_2 = (3, 8, 5), demuestre que los vectores u⃗1\vec{u}_1 y u⃗2\vec{u}_2 dependen linealmente de los vectores v⃗1\vec{v}_1 y v⃗2\vec{v}_2. Determine la ecuación general del plano que pasa por el origen y contiene los vectores v⃗1\vec{v}_1 y v⃗2\vec{v}_2, y determine la posición relativa de los vectores u⃗1\vec{u}_1 y u⃗2\vec{u}_2 respecto a ese plano.
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Ejercicio 2 · A · Álgebra

2A · Álgebra
2,5 puntos
Álgebra

Responda a una de las dos preguntas de Álgebra.

Calcule, por transformaciones elementales (sin emplear la regla de Sarrus) y justificando los pasos, el determinante:
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Ejercicio 2 · A · Análisis matemático

2A · Análisis matemático
2,5 puntos
Análisis matemático

Responda a una de las dos preguntas de Análisis matemático.

a)1 pts
Enunciado e interpretación geométrica del teorema de Bolzano.
b)1,5 pts
¿Se puede asegurar, empleando el teorema de Bolzano, que la función f(x)=tg⁡(x)f(x) = \tg(x) tiene una raíz en el intervalo [π4,3π4][\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]? Razone la respuesta. Esboce la gráfica de ff en ese intervalo. Nota: tg⁡\tg denota la función tangente.
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Ejercicio 2 · A · Estadística

2A · Estadística
2,5 puntos
Estadística

Responda a una de las dos preguntas de Estadística.

El 1%1\% de los individuos de una población supera los 185 cm185\,\text{cm} de estatura, mientras que el 3%3\% no llega a 160 cm160\,\text{cm}. Si se supone que la estatura sigue una distribución normal, calcule los parámetros de esa distribución.
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Ejercicio 2 · A · Geometría

2A · Geometría
2,5 puntos
Geometría

Responda a una de las dos preguntas de Geometría.

a)1 pts
Ángulo que forman una recta y un plano.
b)1,5 pts
Determine el ángulo que forman el plano π:x+2y−3z+4=0\pi: x + 2y - 3z + 4 = 0 y la recta r:{2x−y=03y+2z=12r: \begin{cases} 2x - y = 0 \\ 3y + 2z = 12 \end{cases}
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Ejercicio 2 · B · Álgebra

2B · Álgebra
2,5 puntos
Álgebra

Responda a una de las dos preguntas de Álgebra.

Discuta e interprete geométricamente, según el parámetro aa, el sistema de ecuaciones: {3x−y=ax5x+y+2z=ay4y+3x=az\begin{cases} 3x - y = ax \\ 5x + y + 2z = ay \\ 4y + 3x = az \end{cases}
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Ejercicio 2 · B · Análisis matemático

2B · Análisis matemático
2,5 puntos
Análisis matemático

Responda a una de las dos preguntas de Análisis matemático.

Determine el área de la región limitada por la gráfica de la función f(x)=x2+x+5f(x) = x^2 + x + 5, el eje OXOX y las rectas x=−12x = -\frac{1}{2} y y=x+6y = x + 6.
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Ejercicio 2 · B · Estadística

2B · Estadística
2,5 puntos
Estadística

Responda a una de las dos preguntas de Estadística.

a)1 pts
Propiedades de la función de distribución de una variable aleatoria continua.
b)1,5 pts
La función F(X)={0x<1k(x2−1)1≤x≤31x>3F(X) = \begin{cases} 0 & x < 1 \\ k(x^2 - 1) & 1 \le x \le 3 \\ 1 & x > 3 \end{cases} es función de distribución de cierta variable continua XX, si: (a) k<0k < 0 (b) k=1k = 1 (c) k=18k = \frac{1}{8} (d) nunca. Elija una de las opciones anteriores y justifique su respuesta.
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Ejercicio 2 · B · Geometría

2B · Geometría
2,5 puntos
Geometría

Responda a una de las dos preguntas de Geometría.

a)1,5 pts
Definición de producto escalar de dos vectores. Interpretación geométrica.
b)1 pts
Determine la ecuación que satisfacen los vectores ortogonales a la recta r:{2x+y−z=0x−y+3z=0r: \begin{cases} 2x + y - z = 0 \\ x - y + 3 z = 0 \end{cases}. Interprete geométricamente el resultado obtenido.
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