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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2015Extraordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2015

6 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
10 puntos
Se da el sistema de ecuaciones {x+3y+z=αx+y−αz=12x+αy−z=2α+3\begin{cases} x + 3y + z = \alpha \\ x + y - \alpha z = 1 \\ 2x + \alpha y - z = 2\alpha + 3 \end{cases}, donde α\alpha es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)3 pts
La solución del sistema cuando α=−1\alpha = -1.
b)3 pts
Todas las soluciones del sistema cuando α=0\alpha = 0.
c)4 pts
El valor de α\alpha para el que el sistema es incompatible.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
10 puntos
Se dan las matrices A=(x1−1y23z10)A = \begin{pmatrix} x & 1 & -1 \\ y & 2 & 3 \\ z & 1 & 0 \end{pmatrix} y B=(x1−1123010)B = \begin{pmatrix} x & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)3 pts
Los valores de xx para los cuales la matriz BB tiene inversa.
b)4 pts
El valor del determinante de las matrices A3A^3 y (2x5−12y1032z50)\begin{pmatrix} 2x & 5 & -1 \\ 2y & 10 & 3 \\ 2z & 5 & 0 \end{pmatrix}, sabiendo que el valor del determinante de la matriz AA es 88.
c)3 pts
Los valores de x,y,zx, y, z para los cuales A2=(004376−132)A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 3 & 7 & 6 \\ -1 & 3 & 2 \end{pmatrix}.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
10 puntos
Se tienen las rectas r:x+13=y−1−1=z2r: \frac{x + 1}{3} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z}{2}, s:{x=1+λy=2−λz=0s: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 0 \end{cases} y el punto P(2,3,0)P(2, 3, 0). Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)3 pts
Las ecuaciones de la recta que pasa por el punto PP y es paralela a la recta rr.
b)4 pts
La ecuación del plano que contiene a la recta rr y es paralelo a la recta ss.
c)3 pts
La distancia entre las rectas rr y ss.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
10 puntos
Se dan las rectas r:{2x−y+5=06x−z+8=0r: \begin{cases} 2x - y + 5 = 0 \\ 6x - z + 8 = 0 \end{cases}, s:{x=1−2αy=2+αz=3−αs: \begin{cases} x = 1 - 2\alpha \\ y = 2 + \alpha \\ z = 3 - \alpha \end{cases} y el plano π:2x+mz+1=0\pi: 2x + mz + 1 = 0, siendo mm un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)4 pts
La posición relativa de las rectas rr y ss y el punto (o puntos) comunes a rr y ss.
b)3 pts
El valor del parámetro mm para que la recta ss sea paralela al plano π\pi.
c)3 pts
La ecuación del plano que contiene a la recta ss y al punto P(4,2,1)P(4, 2, 1).
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
10 puntos
Se da la función ff definida por f(x)=x(x+1)2f(x) = \frac{x}{(x + 1)^2}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)3 pts
El dominio y las asíntotas de la función ff.
b)4 pts
Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función ff.
c)3 pts
La integral ∫x(x+1)2dx\int \frac{x}{(x + 1)^2} dx.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
10 puntos
Se va a construir un depósito de 1500 m31500\,\text{m}^3 de capacidad, con forma de caja abierta por la parte superior. Su base es pues un cuadrado y las paredes laterales son cuatro rectángulos iguales perpendiculares a la base. El precio de cada m2\text{m}^2 de la base es de 1515 € y el precio de cada m2\text{m}^2 de paret lateral es de 55 €. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a)3 pts
El coste total del depósito en función de la longitud de un lado de su base.
b)5 pts
Las longitudes del lado de la base y de la altura del depósito para que dicho coste total sea mínimo.
c)2 pts
El valor del mínimo coste total del depósito.
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