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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2015Extraordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2015

3 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Se elegirá solamente UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa opción. Cada problema se puntuará hasta 10 puntos. La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a las centésimas. Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
Se da el sistema de ecuaciones {x+3y+z=αx+y−αz=12x+αy−z=2α+3\begin{cases} x + 3y + z = \alpha \\ x + y - \alpha z = 1 \\ 2x + \alpha y - z = 2\alpha + 3 \end{cases}, donde α\alpha es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La solución del sistema cuando α=−1\alpha = -1.3 pts
b
Todas las soluciones del sistema cuando α=0\alpha = 0.3 pts
c
El valor de α\alpha para el que el sistema es incompatible.4 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Se tienen las rectas r:x+13=y−1−1=z2r: \frac{x + 1}{3} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z}{2}, s:{x=1+λy=2−λz=0s: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 0 \end{cases} y el punto P(2,3,0)P(2, 3, 0). Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
Las ecuaciones de la recta que pasa por el punto PP y es paralela a la recta rr.3 pts
b
La ecuación del plano que contiene a la recta rr y es paralelo a la recta ss.4 pts
c
La distancia entre las rectas rr y ss.3 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Se da la función ff definida por f(x)=x(x+1)2f(x) = \frac{x}{(x + 1)^2}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
El dominio y las asíntotas de la función ff.3 pts
b
Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función ff.4 pts
c
La integral ∫x(x+1)2dx\int \frac{x}{(x + 1)^2} dx.3 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Se dan las matrices A=(x1−1y23z10)A = \begin{pmatrix} x & 1 & -1 \\ y & 2 & 3 \\ z & 1 & 0 \end{pmatrix} y B=(x1−1123010)B = \begin{pmatrix} x & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
Los valores de xx para los cuales la matriz BB tiene inversa.3 pts
b
El valor del determinante de las matrices A3A^3 y (2x5−12y1032z50)\begin{pmatrix} 2x & 5 & -1 \\ 2y & 10 & 3 \\ 2z & 5 & 0 \end{pmatrix}, sabiendo que el valor del determinante de la matriz AA es 88.4 pts
c
Los valores de x,y,zx, y, z para los cuales A2=(004376−132)A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 3 & 7 & 6 \\ -1 & 3 & 2 \end{pmatrix}.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Se dan las rectas r:{2x−y+5=06x−z+8=0r: \begin{cases} 2x - y + 5 = 0 \\ 6x - z + 8 = 0 \end{cases}, s:{x=1−2αy=2+αz=3−αs: \begin{cases} x = 1 - 2\alpha \\ y = 2 + \alpha \\ z = 3 - \alpha \end{cases} y el plano π:2x+mz+1=0\pi: 2x + mz + 1 = 0, siendo mm un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La posición relativa de las rectas rr y ss y el punto (o puntos) comunes a rr y ss.4 pts
b
El valor del parámetro mm para que la recta ss sea paralela al plano π\pi.3 pts
c
La ecuación del plano que contiene a la recta ss y al punto P(4,2,1)P(4, 2, 1).3 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Se va a construir un depósito de 1500 m31500\,\text{m}^3 de capacidad, con forma de caja abierta por la parte superior. Su base es pues un cuadrado y las paredes laterales son cuatro rectángulos iguales perpendiculares a la base. El precio de cada m2\text{m}^2 de la base es de 1515 € y el precio de cada m2\text{m}^2 de paret lateral es de 55 €. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
El coste total del depósito en función de la longitud de un lado de su base.3 pts
b
Las longitudes del lado de la base y de la altura del depósito para que dicho coste total sea mínimo.5 pts
c
El valor del mínimo coste total del depósito.2 pts
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