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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSMurciaPAU 2022Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Murcia 2022

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dadas las matrices A=(10442)A = \begin{pmatrix} 10 & 4 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}, B=(3aa1)B = \begin{pmatrix} 3 & a \\ a & 1 \end{pmatrix} y C=(4115)C = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}
a)0,75 pts
Calcular el valor de aa para el que B2=AB^2 = A.
b)0,75 pts
Calcular la matriz inversa A−1A^{-1}.
c)1 pts
Para a=1a = 1, encuentre la matriz XX que satisface la ecuación AX+B=CAX + B = C.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea la región del plano delimitado por el sistema de inecuaciones: {x+y≤10x+2y≥82≤y≤x+6x≤6\begin{cases} x + y \leq 10 \\ x + 2y \geq 8 \\ 2 \leq y \leq x + 6 \\ x \leq 6 \end{cases}
a)2 pts
Represente la región y calcule sus vértices.
b)0,5 pts
Determine el punto de la región factible dónde la función f(x,y)=−x+2yf(x, y) = -x + 2y alcanza su valor mínimo. Calcule dicho valor.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
La ecuación de demanda de un determinado producto viene dado por la expresión p=400−2qp = 400 - 2q, y su función de coste total es C(q)=0,2q2+4q+400C(q) = 0{,}2q^2 + 4q + 400, dónde qq es el número de unidades de dicho producto y pp se expresa en euros por unidad. Determine:
a)0,5 pts
La expresión de la función de beneficios de la empresa.
b)1 pts
El nivel de producción, qq, para el que se maximiza la función de beneficios de la empresa.
c)0,5 pts
El precio para el que el beneficio es máximo.
d)0,5 pts
El beneficio máximo.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea la función f(x)={xexsi x≤0ax+bsi 0<x<11+xln⁡xsi x≥1f(x) = \begin{cases} xe^x & \text{si } x \leq 0 \\ ax + b & \text{si } 0 < x < 1 \\ 1 + x \ln x & \text{si } x \geq 1 \end{cases}:
a)1 pts
Calcular el valor de los parámetros aa y bb para que la función sea continua en todo su dominio.
b)1,5 pts
Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x=1x = 1.
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Dada la función f(x)=1−x2x2−4f(x) = \frac{1 - x^2}{x^2 - 4}, calcule:
a)0,5 pts
El dominio de la función y el punto de corte con los ejes coordenados.
b)0,5 pts
Las asíntotas verticales y horizontales, si las hay.
c)1 pts
Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d)0,5 pts
Máximos y mínimos locales.
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Dada la función f(x)=x1+x2+21f(x) = \frac{x}{1 + x^2} + 21:
a)1 pts
Calcular la derivada.
b)1 pts
Calcular ∫f(x) dx\int f(x) \, dx.
c)0,5 pts
Calcular ∫01f(x) dx\int_{0}^{1} f(x) \, dx.
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Dada la función f(x)=4x−x2f(x) = 4x - x^2:
a)1 pts
Representar gráficamente el recinto del plano limitado por la función, el eje OX y las rectas x=0x = 0 y x=4x = 4.
b)1,5 pts
Calcule el área del recinto del apartado anterior.
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
a)1,5 pts
Sean AA y BB dos sucesos independientes, tales que P(A)=0,3P(A) = 0{,}3 y P(A∩B)=0,12P(A \cap B) = 0{,}12.
a.i)0,5 pts
Calcular P(B)P(B).
a.ii)0,5 pts
Calcular P(A∪B)P(A \cup B).
a.iii)0,5 pts
Calcular P(Aˉ∩Bˉ)P(\bar{A} \cap \bar{B}).
b)1 pts
En una estación del AVE, el tiempo que tarda un viajero para acceder al tren desde que llega al control de equipajes sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica de 2 minutos. Se tomó una muestra aleatoria de 50 viajeros, y se observó que el tiempo medio de espera era de 16 minutos. Halla un intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo de espera de la maleta en ese aeropuerto con un nivel de confianza del 90 %.
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