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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSMurciaPAU 2022Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Murcia 2022

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. OBSERVACIONES IMPORTANTE: Debes responder a un máximo de 4 preguntas. Cada cuestión tiene una puntuación de 2,5 puntos. Si se responde a más de 4 preguntas, sólo se corregirán las cuatro primeras que haya respondido el estudiante. No se podrán usar calculadoras gráficas ni programables.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dadas las matrices A=(10442)A = \begin{pmatrix} 10 & 4 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}, B=(3aa1)B = \begin{pmatrix} 3 & a \\ a & 1 \end{pmatrix} y C=(4115)C = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}
a
Calcular el valor de aa para el que B2=AB^2 = A.0,75 pts
b
Calcular la matriz inversa A−1A^{-1}.0,75 pts
c
Para a=1a = 1, encuentre la matriz XX que satisface la ecuación AX+B=CAX + B = C.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea la región del plano delimitado por el sistema de inecuaciones:{x+y≤10x+2y≥82≤y≤x+6x≤6\begin{cases} x + y \leq 10 \\ x + 2y \geq 8 \\ 2 \leq y \leq x + 6 \\ x \leq 6 \end{cases}
a
Represente la región y calcule sus vértices.2 pts
b
Determine el punto de la región factible dónde la función f(x,y)=−x+2yf(x, y) = -x + 2y alcanza su valor mínimo. Calcule dicho valor.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
La ecuación de demanda de un determinado producto viene dado por la expresión p=400−2qp = 400 - 2q, y su función de coste total es C(q)=0,2q2+4q+400C(q) = 0{,}2q^2 + 4q + 400, dónde qq es el número de unidades de dicho producto y pp se expresa en euros por unidad. Determine:
a
La expresión de la función de beneficios de la empresa.0,5 pts
b
El nivel de producción, qq, para el que se maximiza la función de beneficios de la empresa.1 pt
c
El precio para el que el beneficio es máximo.0,5 pts
d
El beneficio máximo.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea la función f(x)={xexsi x≤0ax+bsi 0<x<11+xln⁡xsi x≥1f(x) = \begin{cases} xe^x & \text{si } x \leq 0 \\ ax + b & \text{si } 0 < x < 1 \\ 1 + x \ln x & \text{si } x \geq 1 \end{cases}:
a
Calcular el valor de los parámetros aa y bb para que la función sea continua en todo su dominio.1 pt
b
Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x=1x = 1.1,5 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Dada la función f(x)=1−x2x2−4f(x) = \frac{1 - x^2}{x^2 - 4}, calcule:
a
El dominio de la función y el punto de corte con los ejes coordenados.0,5 pts
b
Las asíntotas verticales y horizontales, si las hay.0,5 pts
c
Intervalos de crecimiento y decrecimiento.1 pt
d
Máximos y mínimos locales.0,5 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Dada la función f(x)=x1+x2+21f(x) = \frac{x}{1 + x^2} + 21:
a
Calcular la derivada.1 pt
b
Calcular ∫f(x) dx\int f(x) \, dx.1 pt
c
Calcular ∫01f(x) dx\int_{0}^{1} f(x) \, dx.0,5 pts
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Dada la función f(x)=4x−x2f(x) = 4x - x^2:
a
Representar gráficamente el recinto del plano limitado por la función, el eje OX y las rectas x=0x = 0 y x=4x = 4.1 pt
b
Calcule el área del recinto del apartado anterior.1,5 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
a
Sean AA y BB dos sucesos independientes, tales que P(A)=0,3P(A) = 0{,}3 y P(A∩B)=0,12P(A \cap B) = 0{,}12.1,5 pts
a.i
Calcular P(B)P(B).0,5 pts
a.ii
Calcular P(A∪B)P(A \cup B).0,5 pts
a.iii
Calcular P(Aˉ∩Bˉ)P(\bar{A} \cap \bar{B}).0,5 pts
b
En una estación del AVE, el tiempo que tarda un viajero para acceder al tren desde que llega al control de equipajes sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica de 2 minutos. Se tomó una muestra aleatoria de 50 viajeros, y se observó que el tiempo medio de espera era de 16 minutos. Halla un intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo de espera de la maleta en ese aeropuerto con un nivel de confianza del 90 %.1 pt
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