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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2024Ordinaria

Matemáticas II · Baleares 2024

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
En total el examen consta de 10 preguntas optativas del mismo valor, de las que el/la estudiante deberá elegir un máximo de 5 preguntas, cualesquiera de ellas. El/la estudiante debe indicar claramente, en la primera página del tríptico, cuáles han sido las 5 preguntas elegidas. (Si no se indica, y se han respondido más de 5 preguntas, sólo se corregirán las 5 preguntas que se han respondido en primer lugar). Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos.

Ejercicio 1

1
10 puntos
Una fábrica de vino de Mallorca produce 3 tipos de vino: tinto, blanco y rosado. Con la finalidad de saber el precio de cada tipo de vino, hemos comprado vino, el mismo día y en la misma fábrica, de 4 maneras diferentes: - Comprando 3 botellas de vino tinto y 2 de vino blanco hemos pagado 67 €. - Comprando 2 botellas de vino tinto, 4 de vino blanco y 1 de rosado hemos pagado 85 €. - Comprando 1 botella de vino tinto y 1 de vino rosado hemos pagado 21 €, y finalmente, - Comprando 4 botellas de vino blanco y 5 de vino rosado hemos pagado 85 €.
a
Escribe, en forma matricial, el sistema de ecuaciones lineales que se debería de resolver para poder averiguar el precio de cada tipo de vino.3 pts
b
¿Es necesario tener los datos de las 4 compras para saber el precio de cada tipo de vino?2 pts
c
Calcula cuál es el precio de cada tipo de vino.5 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Consideramos las matrices AA de dimensión 3×33 \times 3 que satisfacen que 3A+I=A23A + I = A^2, donde II es la matriz identidad de dimensión 3×33 \times 3.
a
Calcula la expresión de la matriz inversa de AA.3 pts
b
Dada la ecuación matricial A+3AX=5IA + 3AX = 5I donde AA es una de las matrices del enunciado. Calcula, en función solo de la matriz AA (no de su inversa) y de la identidad II, la matriz XX. ¿Qué dimensión tiene la matriz XX? Justifica la respuesta.3 pts
c
Calcula todas las matrices de la forma A=(a101b000c)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 1 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{pmatrix} tales que cumplan las condiciones del enunciado.4 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Consideremos los puntos A(0,0,0)A(0,0,0), B(2,−1,3)B(2,-1,3) y C(−1,2,1)C(-1,2,1).
a
Calcula el punto DD tal que ABDCABDC es un paralelogramo.3 pts
b
Calcula uno de los puntos EE del espacio de forma que la recta AEAE sea perpendicular al plano ABCABC y que la distancia entre los puntos AA y EE sea 1.4 pts
c
Escribe la ecuación de uno de los planos paralelos al plano ABCABC que dista una unidad de este.3 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
a
Discute, según los valores de aa y bb (parámetros reales), la posición relativa de los planos π1:3x+ay−z=1yπ2:6x+y−2z=b\pi_{1}: 3x + ay - z = 1 \quad \text{y} \quad \pi_{2}: 6x + y - 2z = b Es decir, si son coincidentes, paralelos o se cortan. En el último caso, especifica si lo hacen perpendicularmente.5 pts
b
Calcula la ecuación de la recta perpendicular al plano π\pi y que pasa por el punto de corte entre la recta ss y el mismo plano π\pi, siendo π:{x=2+4α−βy=3βz=1+αys:x−12=y2=z−1−1\pi : \begin{cases} x = 2 + 4\alpha - \beta \\ y = 3\beta \\ z = 1 + \alpha \end{cases} \quad \text{y} \quad s: \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{-1} para α\alpha y β\beta valores reales cualquiera.5 pts
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Ejercicio 5

5
10 puntos
Queremos vallar un campo rectangular utilizando diferentes materiales en cada lado. Empezando por el fondo del campo y moviéndonos alrededor de éste en el sentido contrario a las agujas del reloj, el coste del material para cada lado es de 66 €/m, 99 €/m, 1212 €/m y 1414 €/m, respectivamente. Si tenemos que gastar exactamente 10001000 € para comprar el material del cercado, determina las dimensiones del campo que maximizarán el área encerrada.
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Ejercicio 6

6
10 puntos
Sea la función f(x)={bex+a+1x≤0ax2+b(x+3)0<x≤1acos⁡(πx)+7bxx>1f(x) = \begin{cases} be^x + a + 1 & x \leq 0 \\ ax^2 + b(x + 3) & 0 < x \leq 1 \\ a \cos(\pi x) + 7bx & x > 1 \end{cases}
a
Calcula los valores aa y bb para que la función f(x)f(x) sea continua.5 pts
b
Sea a=3a = 3 y b=2b = 2, calcula el área comprendida entre x=−1x = -1, x=0x = 0 y el eje OxOx.5 pts
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Ejercicio 7

7
10 puntos
Sean AA y BB dos sucesos de un mismo espacio muestral tales que satisfacen que P(A∪B)=0,7P(A \cup B) = 0{,}7, P(A∩B)=0,1P(A \cap B) = 0{,}1 y P(A∩Bc)=0,35P(A \cap B^c) = 0{,}35 (siendo BcB^c el suceso complementario de BB), calcula:
a
P(A)P(A).3 pts
b
P(B)P(B).3 pts
c
P(Ac∪Bc)P(A^c \cup B^c).2 pts
d
¿Son AA y BB sucesos independientes?2 pts
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Ejercicio 8

8
10 puntos
La duración de los embarazos humanos desde la concepción hasta el nacimiento se aproxima a una distribución normal con una media de 266266 días y una desviación típica de 1616 días.
a
¿Qué proporción de todos los embarazos durará entre 240240 y 270270 días (aproximadamente entre 8 y 9 meses)?4 pts
b
Si nos fijamos en el 70%70\% de los embarazos que más duran, ¿cuál es su duración?6 pts
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