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la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2022Extraordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2022

6 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responda a CUATRO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2,5 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se permite el uso de calculadoras u otros aparatos que puedan almacenar datos o que puedan transmitir o recibir información. Puede utilizar las páginas en blanco para hacer esquemas, borradores, etc., o para acabar de responder a alguna cuestión si necesita más espacio. En este último caso, es necesario que lo indique claramente al final de la página de la cuestión correspondiente.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
El poste central que sostiene la lona de la carpa de un circo se sitúa perpendicularmente sobre el plano de un suelo cuya ecuación es π:x−z=6\pi: x - z = 6. Sabemos que la cúpula de la carpa (el punto más alto por donde pasa el poste) está en el punto de coordenadas P=(30,1,0)P = (30, 1, 0).
a
Calcule la ecuación paramétrica de la recta que contiene el poste.1 pt
b
Calcule las coordenadas del punto de contacto del poste con el suelo, y la longitud del poste.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere la función f(x)=9x2+x−2f(x) = \frac{9}{x^2 + x - 2}
a
Determine el dominio, las posibles asíntotas, los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.1,25 pts
b
Calcule la ecuación general de la recta tangente a la función f(x)f(x) en el punto de abscisa x=4x = 4. Represente en un mismo gráfico la función f(x)f(x) y la recta tangente.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considere la matriz A=(1a32a53a74a9)A = \begin{pmatrix} 1 & a & 3 \\ 2a & 5 & 3a \\ 7 & 4a & 9 \end{pmatrix}, que depende del parámetro aa.
a
Calcule el rango de la matriz AA para los diferentes valores del parámetro aa.1,25 pts
b
Si X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, resuelva la ecuación matricial siguiente: (123456789)⋅X=(000)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \cdot X = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Considere la función f(x)={ln⁡(x),si x∈(0,e)ax+b,si x∈[e,4)f(x) = \begin{cases} \ln(x), & \text{si } x \in (0, e) \\ ax + b, & \text{si } x \in [e, 4) \end{cases}, donde aa y bb son números reales. Encuentre el valor de aa y de bb para que la función sea continua y derivable en el intervalo (0,4)(0, 4).1,25 pts
b
Calcule la función g(x)g(x) que satisface g′(x)=x39x4+1g'(x) = \frac{x^3}{9x^4 + 1} y que pasa por el punto (0,−1)(0, -1).1,25 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Sea la matriz A=(aa02a+1a−12a+10−a−3)A = \begin{pmatrix} a & a & 0 \\ 2 & a + 1 & a - 1 \\ 2a + 1 & 0 & -a - 3 \end{pmatrix}, en la que aa es un parámetro real.
a
Calcule los valores del parámetro aa para los cuales la matriz AA es invertible.1,25 pts
b
Para el caso a=3a = 3, resuelva la ecuación A⋅X=B−3IA \cdot X = B - 3I, en la que B=(400040004)B = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}1,25 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
La imagen siguiente muestra dos paredes perpendiculares de una sala representadas en unos ejes de coordenadas, de manera que una pared está en el plano y=0y = 0 y la otra está en el plano x=0x = 0. En el punto A=(2,0,2)A = (2, 0, 2) queremos colgar un altavoz que debe estar conectado a un equipo de sonido, el cual está situado en la otra pared, en el punto B=(0,2,1)B = (0, 2, 1). La conexión entre AA y BB la haremos mediante un cable que pase por el punto C=(0,0,h)C = (0, 0, h), situado en la recta vertical de intersección de las dos paredes. Como la calidad del sonido depende, entre otros factores, de la longitud del cable que une los dos aparatos, queremos hacer una instalación con el mínimo de cable posible.
Representación tridimensional de dos paredes perpendiculares con los puntos A, B y C y el cable que los une.
a
Compruebe que la longitud total del cable necesario, en función de la altura hh por donde debe pasar el cable en el eje vertical OZOZ, viene dada por la expresión L(h)=h2−4h+8+h2−2h+5L(h) = \sqrt{h^2 - 4h + 8} + \sqrt{h^2 - 2h + 5}0,75 pts
b
Calcule las coordenadas del punto CC por donde debe pasar el cable para que la longitud del cable sea mínima. Calcule esta longitud mínima del cable.1,75 pts
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