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la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2022Extraordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2022

6 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
El poste central que sostiene la lona de la carpa de un circo se sitúa perpendicularmente sobre el plano de un suelo cuya ecuación es π:x−z=6\pi: x - z = 6. Sabemos que la cúpula de la carpa (el punto más alto por donde pasa el poste) está en el punto de coordenadas P=(30,1,0)P = (30, 1, 0).
a)1 pts
Calcule la ecuación paramétrica de la recta que contiene el poste.
b)1,5 pts
Calcule las coordenadas del punto de contacto del poste con el suelo, y la longitud del poste.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere la función f(x)=9x2+x−2f(x) = \frac{9}{x^2 + x - 2}
a)1,25 pts
Determine el dominio, las posibles asíntotas, los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
b)1,25 pts
Calcule la ecuación general de la recta tangente a la función f(x)f(x) en el punto de abscisa x=4x = 4. Represente en un mismo gráfico la función f(x)f(x) y la recta tangente.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considere la matriz A=(1a32a53a74a9)A = \begin{pmatrix} 1 & a & 3 \\ 2a & 5 & 3a \\ 7 & 4a & 9 \end{pmatrix}, que depende del parámetro aa.
a)1,25 pts
Calcule el rango de la matriz AA para los diferentes valores del parámetro aa.
b)1,25 pts
Si X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, resuelva la ecuación matricial siguiente: (123456789)⋅X=(000)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \cdot X = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a)1,25 pts
Considere la función f(x)={ln⁡(x),si x∈(0,e)ax+b,si x∈[e,4)f(x) = \begin{cases} \ln(x), & \text{si } x \in (0, e) \\ ax + b, & \text{si } x \in [e, 4) \end{cases}, donde aa y bb son números reales. Encuentre el valor de aa y de bb para que la función sea continua y derivable en el intervalo (0,4)(0, 4).
b)1,25 pts
Calcule la función g(x)g(x) que satisface g′(x)=x39x4+1g'(x) = \frac{x^3}{9x^4 + 1} y que pasa por el punto (0,−1)(0, -1).
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Sea la matriz A=(aa02a+1a−12a+10−a−3)A = \begin{pmatrix} a & a & 0 \\ 2 & a + 1 & a - 1 \\ 2a + 1 & 0 & -a - 3 \end{pmatrix}, en la que aa es un parámetro real.
a)1,25 pts
Calcule los valores del parámetro aa para los cuales la matriz AA es invertible.
b)1,25 pts
Para el caso a=3a = 3, resuelva la ecuación A⋅X=B−3IA \cdot X = B - 3I, en la que B=(400040004)B = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
La imagen siguiente muestra dos paredes perpendiculares de una sala representadas en unos ejes de coordenadas, de manera que una pared está en el plano y=0y = 0 y la otra está en el plano x=0x = 0. En el punto A=(2,0,2)A = (2, 0, 2) queremos colgar un altavoz que debe estar conectado a un equipo de sonido, el cual está situado en la otra pared, en el punto B=(0,2,1)B = (0, 2, 1). La conexión entre AA y BB la haremos mediante un cable que pase por el punto C=(0,0,h)C = (0, 0, h), situado en la recta vertical de intersección de las dos paredes. Como la calidad del sonido depende, entre otros factores, de la longitud del cable que une los dos aparatos, queremos hacer una instalación con el mínimo de cable posible.
Representación tridimensional de dos paredes perpendiculares con los puntos A, B y C y el cable que los une.
Representación tridimensional de dos paredes perpendiculares con los puntos A, B y C y el cable que los une.
a)0,75 pts
Compruebe que la longitud total del cable necesario, en función de la altura hh por donde debe pasar el cable en el eje vertical OZOZ, viene dada por la expresión L(h)=h2−4h+8+h2−2h+5L(h) = \sqrt{h^2 - 4h + 8} + \sqrt{h^2 - 2h + 5}
b)1,75 pts
Calcule las coordenadas del punto CC por donde debe pasar el cable para que la longitud del cable sea mínima. Calcule esta longitud mínima del cable.
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