Matemáticas II · Navarra 2024

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que sea compatible: $$\begin{cases} x + (a^2 + a)z = 0 \\ x + (2a - 1)y + (a + 1)z = a \\ (2a - 1)y + (a + 1)z = 0 \end{cases}$$ Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Sean $A$, $P$ y $Q$ tres matrices cuadradas regulares tales que $Q \cdot A \cdot P = I$, donde $I$ es la matriz identidad de la misma dimensión.

Se consideran el plano $\pi \equiv 2x + y - z - 5 = 0$, la recta $r \equiv \begin{cases} x + 2z + 3 = 0 \\ -x - y + z + 4 = 0 \end{cases}$ y los puntos $A(3, 2, -1)$ y $B(1, 1, -1)$. Sea $C$ la intersección entre la recta y el plano.

El punto $P(4, 5, 0)$ es el punto medio de un lado de un cuadrado. El lado paralelo al anterior está contenido en la recta de ecuación $r \equiv \begin{cases} 2x + 2y + z = 0 \\ 2x - z - 2 = 0 \end{cases}$ Calcula los dos vértices que determinan este segundo lado.

Calcula los siguientes límites:

Se considera la función $f(x) = \cos(\pi x) + \operatorname{sen}(\pi x)$

Se considera la función $f(x) = \sqrt{2x^2 + 2x + 3}$

Encuentra los dos puntos en los que se cortan las gráficas de estas dos funciones: $$f(x) = \ln x \quad \text{y} \quad g(x) = \frac{x - 1}{e - 1}$$ Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas.