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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2024Extraordinaria

Matemáticas II · Navarra 2024

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
En total el examen consta de 8 preguntas optativas del mesmo valor, de las que el/la estudiantes deben elegir un máximo de 4 preguntas, cualesquiera de ellas. Todas las respuestos deben estar debridamente justificadas. Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa y resuélvelo en los casos en que sea compatible:{x+(a2+a)z=0x+(2a−1)y+(a+1)z=a(2a−1)y+(a+1)z=0\begin{cases} x + (a^2 + a)z = 0 \\ x + (2a - 1)y + (a + 1)z = a \\ (2a - 1)y + (a + 1)z = 0 \end{cases}Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sean AA, PP y QQ tres matrices cuadradas regulares tales que Q⋅A⋅P=IQ \cdot A \cdot P = I, donde II es la matriz identidad de la misma dimensión.
a
Demuestra que A⋅P⋅Q⋅A=Q−1⋅P−1A \cdot P \cdot Q \cdot A = Q^{-1} \cdot P^{-1}1,5 pts
b
Calcula la matriz AA para el caso en que PP y QQ sean las siguientes:P=(−112−1)yQ=(1012)P = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Se consideran el plano π≡2x+y−z−5=0\pi \equiv 2x + y - z - 5 = 0, la recta r≡{x+2z+3=0−x−y+z+4=0r \equiv \begin{cases} x + 2z + 3 = 0 \\ -x - y + z + 4 = 0 \end{cases} y los puntos A(3,2,−1)A(3, 2, -1) y B(1,1,−1)B(1, 1, -1). Sea CC la intersección entre la recta y el plano.
a
Demuestra que los puntos AA, BB y CC no están alineados.1,25 pts
b
Calcula el área del triángulo que conforman los tres puntos.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
El punto P(4,5,0)P(4, 5, 0) es el punto medio de un lado de un cuadrado. El lado paralelo al anterior está contenido en la recta de ecuación r≡{2x+2y+z=02x−z−2=0r \equiv \begin{cases} 2x + 2y + z = 0 \\ 2x - z - 2 = 0 \end{cases} Calcula los dos vértices que determinan este segundo lado.
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Calcula los siguientes límites:
a
lim⁡x→+∞(ln⁡x)2x\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^2}{\sqrt{x}}1,25 pts
b
lim⁡x→1x2xx−1\lim_{x \to 1} x^{\frac{2x}{x-1}}1,25 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Se considera la función f(x)=cos⁡(πx)+sen⁡(πx)f(x) = \cos(\pi x) + \operatorname{sen}(\pi x)
a
Estudia la continuidad de la función en el intervalo [0,1][0, 1].0,5 pts
b
Halla sus extremos relativos y absolutos en ese mismo intervalo. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.2 pts
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Se considera la función f(x)=2x2+2x+3f(x) = \sqrt{2x^2 + 2x + 3}
a
Demuestra que la función es continua en el intervalo [−1,3][-1, 3] y derivable en (−1,3)(-1, 3).1,25 pts
b
Comprueba que existe un valor α∈(−1,3)\alpha \in (-1, 3) tal que f′(α)=32f'(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}. Enuncia el/los resultado(s) teórico(s) utilizado(s), y justifica su uso.1,25 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Encuentra los dos puntos en los que se cortan las gráficas de estas dos funciones:f(x)=ln⁡xyg(x)=x−1e−1f(x) = \ln x \quad \text{y} \quad g(x) = \frac{x - 1}{e - 1}Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas.
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