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la cuevadel empollón
Matemáticas IILa RiojaPAU 2017Extraordinaria

Matemáticas II · La Rioja 2017

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumno contestará a los ejercicios de una de las dos propuestas (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a ejercicios de una propuesta y a ejercicios distintos de la otra. Es necesario justificar las respuestas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean programables ni gráficas ni calculen integrales. Si algún alumno es sorprendido con una calculadora no autorizada, podrá ser expulsado del examen; en todo caso, se le retirará la calculadora sin que tenga derecho a que le proporcionen otra. Tiempo: Una hora y media.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Sean mm un número real y los vectoresu⃗=(1,0,1),v⃗=(2,−1,m)\vec{u} = (1, 0, 1), \quad \vec{v} = (2, -1, m)
a
Halle todos los vectores de módulo 33 que son perpendiculares a los vectores u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}.
b
Determine, si existe, un valor de mm tal que el correspondiente vector v⃗\vec{v} forma un ángulo de 45∘45^\circ con el vector u⃗\vec{u}.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
a
Halle, según el valor del parámetro aa, el rango de la matriz(1−1131013−22−3a+4)\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & -2 \\ 2 & -3 & a + 4 \end{pmatrix}
b
Sean AA y BB dos matrices cuadradas de orden 44 tales que det⁡(AB)=1\det(AB) = 1. ¿Qué se puede decir del rango de AA?
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Ejercicio 3

3
2 puntos
En una universidad el 30%30\% de los alumnos va a la cafetería A, el 60%60\% va a la cafetería B y el 20%20\% va a ambas cafeterías.
a
Si se elige al azar un estudiante que va a la cafetería A, halle la probabilidad de que también vaya a la cafetería B.
b
Si se elige al azar un estudiante de esa universidad, calcule la probabilidad de que el estudiante no vaya a la cafetería A ni a la cafetería B.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Sea f(x)=ex+xex−xf(x) = \frac{e^x + x}{e^x - x}. Sabiendo que ex>xe^x > x para todo número real xx, para la función ff estudie:
a
El dominio y las asíntotas.
b
La monotonía y los extremos relativos.
c
Dibuje la gráfica de ff destacando los elementos anteriores.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Sea mm un número real y consideremos la matrizA=(10mm042−11)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & m \\ m & 0 & 4 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}
a
Halle los valores de mm para los que la matriz AA tiene inversa.
b
Determine el rango de AA cuando m=2m = 2.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
a
Pruebe que cualquiera sea el valor de aa, los planos π1:ax+ay−z=0\pi_1: ax + ay - z = 0, π2:x−y+az=0\pi_2: x - y + az = 0 se cortan en una recta rr.
b
Estudie, en función de aa, la posición relativa de la recta rr y el plano que contiene a los puntos A(1,1,1)A(1, 1, 1), B(1,0,2)B(1, 0, 2) y C(0,1,2a)C(0, 1, 2a).
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Ejercicio 3

3
2 puntos
En una universidad el 30%30\% de los alumnos va a la cafetería A, el 60%60\% va a la cafetería B y el 20%20\% va a ambas cafeterías.
a
Si se elige al azar un estudiante que va a la cafetería A, halle la probabilidad de que también vaya a la cafetería B.
b
Si se elige al azar un estudiante de esa universidad, calcule la probabilidad de que el estudiante no vaya ni a la cafetería A ni a la cafetería B.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Sea f(x)=ex+xex−xf(x) = \frac{e^x + x}{e^x - x}. Sabiendo que ex>xe^x > x para todo número real xx, para la función ff estudiar:
a
El dominio y las asíntotas.
b
La monotonía y los extremos relativos.
c
Dibuje la gráfica de ff destacando los elementos anteriores.
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