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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2020Extraordinaria

Matemáticas II · Baleares 2020

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Conteste de manera clara y razonada cuatro cuestiones cualesquiera, escogidas de entre las dos opciones, A y B, propuestas. Dispone de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total de puntos obtenidos entre 4. Solo se tendrán en cuenta las respuestas claramente justificadas y razonadas usando lenguaje matemático o no matemático, según corresponda. Se valorarán negativamente los errores de cálculo. Puede utilizar calculadora de cualquier tipo, científica, gráfica o programable, pero no se autoriza el uso de las que puedan almacenar o transmitir información.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
10 puntos
Dada la ecuación matricial M⋅X+N=P,M \cdot X + N = P, donde XX es la matriz incógnita y M=(−1aaa),N=(3434),P=(5634).M = \begin{pmatrix} -1 & a \\ a & a \end{pmatrix}, \quad N = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad P = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}.
a
¿Para qué valores del parámetro aa existe la matriz inversa de MM?1 pt
b
Calcula la matriz inversa de MM.3 pts
c
Para a=2a = 2, resuelve la ecuación matricial, si es posible.3 pts
d
Para los valores de aa para los cuales existe la matriz inversa de MM, resuelve la ecuación matricial.3 pts
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
10 puntos
Dadas las matrices AA y BB, A=(23x4686912),B=(120110),A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & x \\ 4 & 6 & 8 \\ 6 & 9 & 12 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},
a
Calcula A⋅BA \cdot B y (A⋅B)t(A \cdot B)^t, donde la "t" indica matriz transpuesta.4 pts
b
¿Es posible calcular B2B^2? Si lo es, calcúlala.1 pt
c
Para los diferentes valores de xx, calcula el rango de la matriz AA.5 pts
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
10 puntos
Considera la función f(x)=1(x−3)(x+3).f(x) = \frac{1}{(x - 3)(x + 3)}.
a
Determina: el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, las coordenadas de los máximos y mínimos y el lim⁡x→±∞f(x)\lim_{x \to \pm \infty} f(x).2 pts
b
Haz un esbozo de la gráfica.1 pt
c
Obtén los valores de AA y BB para los cuales f(x)=Ax−3+Bx+3.f(x) = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 3}.3 pts
d
Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función, el eje OXOX y las rectas de ecuaciones x=−2x = -2 y x=2x = 2.4 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
10 puntos
En un acuario, el estudio de la evolución de la población de peces se ha modelado según la función t→P(t)t \to P(t), P(t)=t+1−t,P(t) = \sqrt{t + 1} - \sqrt{t}, donde la variable tt, que es un número real mayor o igual que cero, mide el número de años transcurridos desde el 1 de enero del año 2000 y P(t)P(t) indica el número de individuos, en miles, en el instante de tiempo tt.
a
La población que había el 1 de enero del año 2000 y la población que habrá al final del año 2020.1 pt
b
El tamaño de la población (en número de individuos) a largo plazo.3 pts
c
El año en el cual se llega a la población mínima y cuántos individuos habrá.4 pts
d
Haz un esbozo de la gráfica de la evolución poblacional t→P(t)t \to P(t).2 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
10 puntos
Dadas las rectas (I) {15x+12y−14z=−178x−y−5z=23\begin{cases} 15x + 12y - 14z = -17 \\ 8x - y - 5z = 23 \end{cases} (II) {9x+5y−2z=524x−2y−13z=67\begin{cases} 9x + 5y - 2z = 5 \\ 24x - 2y - 13z = 67 \end{cases}
a
Calcula un vector posición y un vector director de cada una.4 pts
b
Calcula la ecuación vectorial de cada una.2 pts
c
Calcula el rango de la matriz formada por los dos vectores directores y el vector diferencia, o vector resta, de los dos vectores posición obtenidos.2 pts
d
Del anterior rango, deduce la posición relativa de ambas rectas.2 pts
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
10 puntos
Dados los planos (I) 3x−ay+2z−(a−1)=03x - ay + 2z - (a - 1) = 0 (II) 2x−5y+3z−1=02x - 5y + 3z - 1 = 0 (III) x+3y−(a−1)z=0x + 3y - (a - 1)z = 0
a
Demuestra que, para cualquier valor del parámetro aa, no hay ningún par que sean paralelos.4 pts
b
Estudia su posición relativa, según los diferentes valores del parámetro aa.6 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
10 puntos
Tenemos tres urnas, la primera contiene 2 bolas azules; la segunda, 1 bola azul y 1 roja; la tercera, 2 bolas rojas. Realizamos el experimento aleatorio "Elegimos una urna al azar y extraemos una bola". Supón que todas las urnas tienen la misma probabilidad de ser elegidas.
a
Calcula la probabilidad del suceso R="bola extraıˊda roja"R = \text{"bola extraída roja"}.5 pts
b
Si la bola extraída resulta que es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la urna elegida haya sido la tercera?5 pts
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
10 puntos
El peso de un grupo de personas sigue una distribución normal de media 54,354{,}3 kg y desviación típica de 6,56{,}5 kg.
Datos
  • Media μ=54,3 kg\mu = 54{,}3\,\text{kg}
  • Desviación típica σ=6,5 kg\sigma = 6{,}5\,\text{kg}
a
¿Cuál es el porcentaje de personas con peso superior a 5757 kg?3 pts
b
¿Qué porcentaje de personas pesan entre 5050 y 5757 kg?4 pts
c
Si se elige una persona al azar que está dentro del 70%70\% de las personas que menos pesan, como máximo, ¿cuántos kilos debería pesar?3 pts
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