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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2020Extraordinaria

Matemáticas II · Baleares 2020

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
10 puntos
Dada la ecuación matricial M⋅X+N=P,M \cdot X + N = P, donde XX es la matriz incógnita y M=(−1aaa),N=(3434),P=(5634).M = \begin{pmatrix} -1 & a \\ a & a \end{pmatrix}, \quad N = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad P = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}.
a)1 pts
¿Para qué valores del parámetro aa existe la matriz inversa de MM?
b)3 pts
Calcula la matriz inversa de MM.
c)3 pts
Para a=2a = 2, resuelve la ecuación matricial, si es posible.
d)3 pts
Para los valores de aa para los cuales existe la matriz inversa de MM, resuelve la ecuación matricial.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
10 puntos
Dadas las matrices AA y BB, A=(23x4686912),B=(120110),A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & x \\ 4 & 6 & 8 \\ 6 & 9 & 12 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},
a)4 pts
Calcula A⋅BA \cdot B y (A⋅B)t(A \cdot B)^t, donde la "t" indica matriz transpuesta.
b)1 pts
¿Es posible calcular B2B^2? Si lo es, calcúlala.
c)5 pts
Para los diferentes valores de xx, calcula el rango de la matriz AA.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
10 puntos
Considera la función f(x)=1(x−3)(x+3).f(x) = \frac{1}{(x - 3)(x + 3)}.
a)2 pts
Determina: el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, las coordenadas de los máximos y mínimos y el lim⁡x→±∞f(x)\lim_{x \to \pm \infty} f(x).
b)1 pts
Haz un esbozo de la gráfica.
c)3 pts
Obtén los valores de AA y BB para los cuales f(x)=Ax−3+Bx+3.f(x) = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 3}.
d)4 pts
Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función, el eje OXOX y las rectas de ecuaciones x=−2x = -2 y x=2x = 2.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
10 puntos
En un acuario, el estudio de la evolución de la población de peces se ha modelado según la función t→P(t)t \to P(t), P(t)=t+1−t,P(t) = \sqrt{t + 1} - \sqrt{t}, donde la variable tt, que es un número real mayor o igual que cero, mide el número de años transcurridos desde el 1 de enero del año 2000 y P(t)P(t) indica el número de individuos, en miles, en el instante de tiempo tt.
a)1 pts
La población que había el 1 de enero del año 2000 y la población que habrá al final del año 2020.
b)3 pts
El tamaño de la población (en número de individuos) a largo plazo.
c)4 pts
El año en el cual se llega a la población mínima y cuántos individuos habrá.
d)2 pts
Haz un esbozo de la gráfica de la evolución poblacional t→P(t)t \to P(t).
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
10 puntos
Dadas las rectas (I) {15x+12y−14z=−178x−y−5z=23\begin{cases} 15x + 12y - 14z = -17 \\ 8x - y - 5z = 23 \end{cases} (II) {9x+5y−2z=524x−2y−13z=67\begin{cases} 9x + 5y - 2z = 5 \\ 24x - 2y - 13z = 67 \end{cases}
a)4 pts
Calcula un vector posición y un vector director de cada una.
b)2 pts
Calcula la ecuación vectorial de cada una.
c)2 pts
Calcula el rango de la matriz formada por los dos vectores directores y el vector diferencia, o vector resta, de los dos vectores posición obtenidos.
d)2 pts
Del anterior rango, deduce la posición relativa de ambas rectas.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
10 puntos
Dados los planos (I) 3x−ay+2z−(a−1)=03x - ay + 2z - (a - 1) = 0 (II) 2x−5y+3z−1=02x - 5y + 3z - 1 = 0 (III) x+3y−(a−1)z=0x + 3y - (a - 1)z = 0
a)4 pts
Demuestra que, para cualquier valor del parámetro aa, no hay ningún par que sean paralelos.
b)6 pts
Estudia su posición relativa, según los diferentes valores del parámetro aa.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
10 puntos
Tenemos tres urnas, la primera contiene 2 bolas azules; la segunda, 1 bola azul y 1 roja; la tercera, 2 bolas rojas. Realizamos el experimento aleatorio "Elegimos una urna al azar y extraemos una bola". Supón que todas las urnas tienen la misma probabilidad de ser elegidas.
a)5 pts
Calcula la probabilidad del suceso R="bola extraıˊda roja"R = \text{"bola extraída roja"}.
b)5 pts
Si la bola extraída resulta que es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la urna elegida haya sido la tercera?
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
10 puntos
El peso de un grupo de personas sigue una distribución normal de media 54,354{,}3 kg y desviación típica de 6,56{,}5 kg.
a)3 pts
¿Cuál es el porcentaje de personas con peso superior a 5757 kg?
b)4 pts
¿Qué porcentaje de personas pesan entre 5050 y 5757 kg?
c)3 pts
Si se elige una persona al azar que está dentro del 70%70\% de las personas que menos pesan, como máximo, ¿cuántos kilos debería pesar?
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