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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2012Ordinaria

Matemáticas II · Madrid 2012

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumno contestará a los cuatro ejercicios de una de las dos opciones (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a unos ejercicios de una opción y a otros ejercicios de la otra opción. En cualquier caso, la calificación se hará sobre lo respondido a una de las dos opciones. No se permite el uso de calculadoras gráficas. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. Calificación total máxima: 10 puntos. Tiempo: Hora y media.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Dadas las matricesA=(kkk21−1k2k−22),B=(1268),C=(433),X=(xyz),A = \begin{pmatrix} k & k & k^2 \\ 1 & -1 & k \\ 2k & -2 & 2 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 12 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}, \qquad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix},se pide:
a
Hallar el rango de AA en función de los valores de kk.1,5 pts
b
Para k=2k = 2, hallar, si existe, la solución del sistema AX=BAX = B.0,75 pts
c
Para k=1k = 1, hallar, si existe, la solución del sistema AX=CAX = C.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dados los puntos P1(1,3,−1),P2(a,2,0),P3(1,5,4)P_1(1, 3, -1), P_2(a, 2, 0), P_3(1, 5, 4) y P4(2,0,2)P_4(2, 0, 2), se pide:
a
Hallar el valor de aa para que los cuatro puntos estén en el mismo plano.1 pt
b
Hallar los valores de aa para que el tetraedro con vértices en P1,P2,P3,P4P_1, P_2, P_3, P_4 tenga volumen igual a 77.1 pt
c
Hallar la ecuación del plano cuyos puntos equidistan de P1P_1 y de P3P_3.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Hallar a,b,ca, b, c de modo que la función f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c alcance en x=1x = 1 un máximo relativo de valor 22, y tenga en x=3x = 3 un punto de inflexión.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Calcular razonadamente las siguientes integrales definidas:
a
∫0πe2xcos⁡x dx\int_{0}^{\pi} e^{2x} \cos x \, dx1 pt
b
∫0π/2sen⁡2x1+cos⁡22x dx\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sen 2x}{1 + \cos^2 2x} \, dx1 pt
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Dadas las funcionesf(x)=3x+ln⁡(x+1)x2−3,g(x)=(ln⁡x)x,h(x)=sen⁡(π−x),f(x) = \frac{3x + \ln(x + 1)}{\sqrt{x^2 - 3}}, \qquad g(x) = (\ln x)^x, \qquad h(x) = \sen(\pi - x),se pide:
a
Hallar el dominio de f(x)f(x) y el lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x).1 pt
b
Calcular g′(e)g'(e).1 pt
c
Calcular, en el intervalo (0,2π)(0, 2\pi), las coordenadas de los puntos de corte con el eje de abscisas y las coordenadas de los extremos relativos de h(x)h(x).1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dadas las rectasr1≡x−23=y−1−5=z2,r2≡{x=−1−λy=3+λz=5r_1 \equiv \frac{x - 2}{3} = \frac{y - 1}{-5} = \frac{z}{2}, \qquad \qquad r_2 \equiv \begin{cases} x = -1 - \lambda \\ y = 3 + \lambda \\ z = 5 \end{cases}se pide:
a
Estudiar su posición relativa.1 pt
b
Hallar la mínima distancia de r1r_1 a r2r_2.2 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dadas las matricesA=(012−2−101a1),B=(4−11−2−2−3−7−832−a3+a3),A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -2 & -1 & 0 \\ 1 & a & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 4 & -1 & 1 & -2 \\ -2 & -3 & -7 & -8 \\ 3 & 2 - a & 3 + a & 3 \end{pmatrix},se pide:
a
Estudiar el rango de la matriz BB en función de aa.1 pt
b
Para a=0a = 0, calcular la matriz XX que verifica AX=BAX = B.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Calcular el valor del determinante∣x1111y1111z11111∣.\begin{vmatrix} x & 1 & 1 & 1 \\ 1 & y & 1 & 1 \\ 1 & 1 & z & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}.
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