Matemáticas II · Cataluña 2015

Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente: $$\begin{cases} -3x + 2y + 3z = 0 \\ (a - 2)y - 3z = 0 \\ -x - y + (-a - 3)z = 0 \end{cases}$$

Considere el sistema de ecuaciones $\begin{cases} x - 2y - z = 0 \\ -mx + 3y + z = 0 \\ x + y = 4 \end{cases}$, en que $m$ es un parámetro real.

Sea $r$ la recta del espacio que tiene por ecuación $r: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{-1} = z$ y sea $P$ el punto de coordenadas $(6, 0, -1)$.

Sea la función $f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x$.

Responda a las cuestiones siguientes:

Sean el punto $P = (2, 0, 2)$ y el plano $\pi$ de ecuación $x - y + z = 1$.

Considere en $\mathbb{R}^3$ la recta que tiene por ecuación $r: (x, y, z) = (-4 + 2\lambda, -2, 1 - \lambda)$ y los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ de ecuaciones $\pi_1: x + 2y + 2z = -1$ y $\pi_2: x - 2y + 2z = -3$, respectivamente.

Sea $f$ la función $f(x) = x \cdot \sen(x)$. Calcule la primitiva de la función $f$ que pasa por el punto $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$ (unidades en radianes).

Responda a las cuestiones siguientes:

Sea $A$ una matriz cuadrada que cumple que $A^3 = I$, en que $I$ es la matriz identidad, $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

La portada de una catedral está formada, en la parte superior, por un arco de media circunferencia que se apoya sobre dos columnas, como ilustra la figura adjunta, en que $x$ es el diámetro de la circunferencia, es decir, la distancia entre columnas, e $y$ es la altura de cada columna.

Sean en $\mathbb{R}^3$ el punto $P = (2, 3, 3)$ y la recta $r: (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(1, 1, 1)$.