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la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2015Ordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2015

12 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responda a CINCO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se autorizará el uso de calculadoras u otros aparatos que lleven información almacenada o que puedan transmitir o recibir información.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente:{−3x+2y+3z=0(a−2)y−3z=0−x−y+(−a−3)z=0\begin{cases} -3x + 2y + 3z = 0 \\ (a - 2)y - 3z = 0 \\ -x - y + (-a - 3)z = 0 \end{cases}
a
Calcule para qué valores del parámetro aa el sistema tiene más de una solución.1 pt
b
Resuelva el sistema para el caso a=−3a = -3.1 pt
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2 puntos
Considere el sistema de ecuaciones {x−2y−z=0−mx+3y+z=0x+y=4\begin{cases} x - 2y - z = 0 \\ -mx + 3y + z = 0 \\ x + y = 4 \end{cases}, en que mm es un parámetro real.
a
Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro mm.1 pt
b
Resuelva el sistema para m=1m = 1.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
Sea rr la recta del espacio que tiene por ecuación r:x−12=y+3−1=zr: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{-1} = z y sea PP el punto de coordenadas (6,0,−1)(6, 0, -1).
a
Halle la ecuación cartesiana (es decir, que tiene la forma Ax+By+Cz=DAx + By + Cz = D) del plano que pasa por el punto PP y corta perpendicularmente la recta rr.1 pt
b
Halle la ecuación paramétrica del plano que pasa por el punto PP y contiene la recta rr.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Sea la función f(x)=x3−4x2+4xf(x) = x^3 - 4x^2 + 4x.
a
Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ff en el punto de abscisa x=1x = 1.1 pt
b
Calcule las abscisas de los puntos de la gráfica en que hay un mínimo relativo, un máximo relativo o una inflexión.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Responda a las cuestiones siguientes:
a
Determine la ecuación de la recta tangente a la curva y=x3y = x^3 en el punto de abscisa x=2x = 2.1 pt
b
Calcule el área de la región plana finita limitada por la curva y=x3y = x^3 y la recta y=3x−2y = 3x - 2.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
Sean el punto P=(2,0,2)P = (2, 0, 2) y el plano π\pi de ecuación x−y+z=1x - y + z = 1.
Datos
  • Puede calcular la distancia de un punto de coordenadas (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) al plano de ecuación Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0 con la expresión ∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2\frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
a
Calcule la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto PP y es perpendicular al plano π\pi.1 pt
b
Calcule la distancia del punto PP al plano π\pi.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
Considere en R3\mathbb{R}^3 la recta que tiene por ecuación r:(x,y,z)=(−4+2λ,−2,1−λ)r: (x, y, z) = (-4 + 2\lambda, -2, 1 - \lambda) y los planos π1\pi_1 y π2\pi_2 de ecuaciones π1:x+2y+2z=−1\pi_1: x + 2y + 2z = -1 y π2:x−2y+2z=−3\pi_2: x - 2y + 2z = -3, respectivamente.
Datos
  • Puede calcular la distancia de un punto de coordenadas (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) al plano de ecuación Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0 con la expresión ∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2\frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
a
Determine la posición relativa de π1\pi_1 y π2\pi_2.1 pt
b
Compruebe que todos los puntos de la recta rr están situados a la misma distancia de los planos π1\pi_1 y π2\pi_2.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
Sea ff la función f(x)=x⋅sen⁡(x)f(x) = x \cdot \sen(x). Calcule la primitiva de la función ff que pasa por el punto (π2,0)\left(\frac{\pi}{2}, 0\right) (unidades en radianes).
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2 puntos
Responda a las cuestiones siguientes:
a
Calcule la matriz de la forma A=(1a10)A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 1 & 0 \end{pmatrix} que satisface A2−A=IA^2 - A = I, en que II es la matriz identidad, I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.1 pt
b
Calcule A−1A^{-1} y compruebe que el resultado se corresponde con el que obtiene al deducir la matriz A−1A^{-1} a partir de la igualdad A2−A=IA^2 - A = I.1 pt
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2 puntos
Sea AA una matriz cuadrada que cumple que A3=IA^3 = I, en que II es la matriz identidad, I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
a
Demuestre que la matriz AA tiene inversa y que A−1=A2A^{-1} = A^2.1 pt
b
En el caso de A=(1a−1−2)A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ -1 & -2 \end{pmatrix}, calcule si hay algún valor del parámetro aa para el cual A3=IA^3 = I.1 pt
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2 puntos
La portada de una catedral está formada, en la parte superior, por un arco de media circunferencia que se apoya sobre dos columnas, como ilustra la figura adjunta, en que xx es el diámetro de la circunferencia, es decir, la distancia entre columnas, e yy es la altura de cada columna.
Esquema de la portada de una catedral con un arco de medio punto de diámetro x y columnas de altura y.
a
Compruebe que la función f(x,y)=πx28+xyf(x, y) = \frac{\pi x^2}{8} + xy determina el área de esta portada.1 pt
b
Si el perímetro de la portada mide 20 m20\,\text{m}, determine las medidas xx e yy de la portada que maximizan su área.1 pt
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2 puntos
Sean en R3\mathbb{R}^3 el punto P=(2,3,3)P = (2, 3, 3) y la recta r:(x,y,z)=(1,2,3)+t(1,1,1)r: (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(1, 1, 1).
a
Calcule la ecuación paramétrica del plano que pasa por el punto PP y contiene la recta rr.1 pt
b
Calcule la ecuación cartesiana (es decir, que tiene la forma Ax+By+Cz=DAx + By + Cz = D) del plano que pasa por el punto PP y es perpendicular a la recta rr.1 pt
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