Matemáticas CCSS · Madrid 2023

Se considera la matriz $A$ dada por $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Una pastelería tiene $220$ buñuelos de chocolate, nata y crema. Hay el doble de buñuelos de nata que de crema. Además, el doble de la cantidad de los buñuelos de crema más el triple de los buñuelos de chocolate es igual al doble de la cantidad de los buñuelos de nata. Calcule la cantidad de buñuelos que hay de cada tipo.

Se considera la función real de variable real definida por la siguiente expresión: $$f(x) = 6x^2 + ae^x - 2, \quad a \in \mathbb{R}$$

Se desea producir pintura verde en dos tonalidades, VERDE1 y VERDE2, mezclando pintura azul y amarilla en distintas proporciones. Un litro de pintura VERDE1 necesita $0{,}3$ litros de azul y $0{,}7$ litros de amarillo, mientras que un litro de pintura VERDE2 necesita $0{,}5$ litros de azul y $0{,}5$ litros de amarillo. Actualmente se dispone de $20$ litros de azul y $28$ litros de amarillo. El beneficio por litro de la pintura VERDE1 es de $1$ euro, y por litro de pintura VERDE2 es de $1{,}2$ euros. No se pueden producir más de $30$ litros de pintura VERDE1. ¿Cuántos litros de pintura VERDE1 y VERDE2 debe producir para maximizar sus beneficios? ¿Cuál será el beneficio obtenido?

Se considera la función real de variable real definida por la siguiente expresión: $$f(x) = \begin{cases} \frac{-x^4}{x^2 + 1} & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{x^2 + 1}{x + 1} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

Se consideran las siguientes funciones reales de variable real: $$f(x) = -x^3 + 2x^2 + 4x, \qquad g(x) = 4x$$

Sean dos sucesos $A$ y $B$ tales que $P(A) = 0{,}55$ y $P(B) = 0{,}1$. Además se sabe que $P(\bar{B} \mid A) = 0{,}89$, donde $\bar{B}$ es el suceso complementario de $B$. Calcule las siguientes probabilidades:

El Ministerio de Educación y Formación Profesional convoca regularmente unas ayudas al estudio. En el curso 2019-2020 las ayudas destinadas a las Enseñanzas Obligatorias representaron el $56{,}5\%$ del total, el $24\%$ correspondieron a Enseñanzas Universitarias, mientras que el $19{,}5\%$ restante fueron para Enseñanzas Postobligatorias No Universitarias. Las ayudas concedidas son financiadas o bien por el ministerio o bien por la Comunidad Autónoma a la que pertenece el estudiante. Concretamente, en el curso 2019-2020, las ayudas financiadas por el ministerio representaron el $13{,}8\%$ del total de ayudas de Enseñanzas Obligatorias, el $86{,}1\%$ de las Universitarias y el $80{,}3\%$ de las Postobligatorias No Universitarias. Eligiendo una ayuda al estudio al azar de las anteriormente descritas, calcule la probabilidad de que:

La capacidad en mililitros de un bote de champú se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ y desviación típica igual a $10$ ml.

El $30\%$ de los individuos de una población tienen una titulación universitaria. Se escoge una muestra al azar de $120$ individuos.