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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSPaís VascoPAU 2018Ordinaria

Matemáticas CCSS · País Vasco 2018

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
3 puntos
Considérense las siguientes desigualdades en el plano XY cuando x≥0x \geq 0 e y≥0y \geq 0: x+2y≤7,x+y≥3,2y−x≥−4x + 2y \leq 7, \quad x + y \geq 3, \quad 2y - x \geq -4
a)1 pts
Dibuja el recinto restringido por las desigualdades anteriores en el plano XY.
b)1 pts
Encuentra el máximo de la función F(x,y)=2x+3yF(x, y) = 2x + 3y en el recinto del apartado anterior.
c)1 pts
Encuentra el máximo de la función F(x,y)F(x, y) cuando xx e yy son números enteros en el espacio de soluciones del apartado (a).
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
3 puntos
a)1,5 pts
Dadas las matrices R=(x3−1+x3y)R = \begin{pmatrix} x & 3 \\ -1 + x & 3y \end{pmatrix} y S=(1−15036)S = \begin{pmatrix} 1 & -15 \\ 0 & 36 \end{pmatrix}, determinar el valor de las componentes x>0x > 0 e yy para que se verifique R2=SR^2 = S, donde R2=R⋅RR^2 = R \cdot R.
b)1,5 pts
Se conoce la longitud, a=2a=2, b=3b=3 y c=5c=5, de un lado de cada rectángulo de la figura X, Y, Z (NO dibujados a escala) y la otra no, x,y,zx, y, z. Determinar x,y,zx, y, z para que se cumpla: (i) la suma del área de los tres rectángulos vale 6464, (ii) la suma de los perímetros de los rectángulos X e Y vale 3434 y (iii) la suma del perímetro de X más dos veces el área de Y vale 4848.
Rectángulo X con lados x y a=2
Rectángulo X con lados x y a=2
Rectángulo Y con lados y y b=3
Rectángulo Y con lados y y b=3
Rectángulo Z con lados z y c=5
Rectángulo Z con lados z y c=5
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
3 puntos
Un inversor conoce el valor que tendrán las acciones de una empresa a lo largo del año. La función f(t)=t3/3−5t2+16t+30f(t) = t^3/3 - 5t^2 + 16t + 30 expresa dicho valor en euros, donde el tiempo tt está medido en meses, 0≤t≤120 \leq t \leq 12. Si inicialmente dispone de 30003000 euros y durante el año puede realizar como máximo 2 operaciones de compra y 2 de venta:
a)1,5 pts
Utilizando el análisis de los máximos y mínimos de f(t)f(t), deducir en qué instantes debe realizar el inversor cada compra y cada venta para que, a final de año (t=12t = 12), disponga del máximo de dinero.
b)1,5 pts
¿Cuál será el máximo beneficio que podrá obtener realizando las 4 operaciones óptimas indicadas en el apartado anterior?
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
3 puntos
La función f(x)f(x) está definida a trozos. Cuando x≤3x \leq 3 vale f(x)=ax+bf(x) = ax + b y cuando x≥3x \geq 3 vale f(x)=cx2+dx+ef(x) = cx^2 + dx + e, donde a,b,c,da, b, c, d y ee son parámetros desconocidos. Si la función f(x)f(x) tiene un máximo en x=4x = 4 y la función y su derivada en x=3x = 3 valen respectivamente f(3)=3f(3) = 3 y f′(3)=2f'(3) = 2:
a)1,5 pts
Hallar los valores de los parámetros a,b,c,da, b, c, d y ee que determinan la función f(x)f(x).
b)1,5 pts
Obtener las coordenadas de los puntos de corte PP y QQ de la función f(x)f(x) con el eje de abscisas OX y calcular la integral de f(x)f(x) en el intervalo [P,Q][P, Q].
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Un banco diseña diversos tipos de préstamos para empresas y particulares. A estos últimos les fueron concedidos el 60%60\% del total. Pasado un tiempo, el banco no recuperó el 6%6\% de los créditos a empresas y el 20%20\% de los particulares.
a)1 pts
Si se selecciona un crédito al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea moroso?
b)1 pts
Entre los créditos que son morosos, ¿qué probabilidad corresponden a empresas?
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
En una urna hay 1515 bolas blancas y 55 bolas negras. Calcular:
a)0,5 pts
Si se extrae una bola al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea blanca?
b)0,5 pts
Extrayendo dos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean blancas?
c)0,5 pts
Si se extrae primero una bola, y luego otra, siendo la primera negra, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda sea también negra?
d)0,5 pts
Si se extrae una bola y luego otra, ¿cuál es la probabilidad de que sean de distinto color?
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
En un gabinete médico se realiza una prueba de reacción a señales luminosas para medir los reflejos de los pacientes. Los resultados en milisegundos (ms) se ajustan a una distribución normal N(μ,σ)N(\mu, \sigma), donde σ=300 ms\sigma = 300\,\text{ms}. A partir de una muestra aleatoria simple, se obtiene un intervalo de confianza de (740,820)(740, 820) para esa media μ\mu, con nc=95%n_c = 95\%. Se pide:
a)1 pts
La media muestral y el tamaño de la muestra elegida.
b)1 pts
El error cometido en el cálculo de μ\mu, si ahora tomamos una muestra aleatoria simple de tamaño 6464 y nc=86%n_c = 86\%.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
Un estudio, sobre el número de fumadores de una zona a partir de una muestra de tamaño 361361, señala que la proporción muestral de fumadores es del 35%35\%. Con estos datos se pide calcular:
a)1 pts
¿Cuál es el intervalo de confianza al 95%95\%?
b)1 pts
¿Cuál debería ser el tamaño de la muestra para que la amplitud del intervalo de confianza al 99%99\% sea de 0,120{,}12?
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