Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IICanariasPAU 2025Ordinaria

Matemáticas II · Canarias 2025

7 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Debe responder sólo una pregunta de cada bloque de contenido. En caso de presentar dos preguntas de un mismo bloque, se considerará sólo la primera pregunta respondida. En el desarrollo de cada pregunta, detalle y explique los procedimientos empleados para solucionarla. Se califica todo el proceso. Se puede utilizar cualquier calculadora científica, no programable ni con conexión a internet

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Bloque 1Análisis (Metabolix)
En un hospital de las Islas Canarias, un equipo de investigación está analizando cómo se metaboliza en sangre un nuevo medicamento llamado Metabolix, utilizado para tratar infecciones bacterianas. La concentración residual del fármaco en el plasma sanguíneo, denotada como f(x)f(x) (medida en miligramos por litro, mg/L), depende del tiempo transcurrido xx (en horas) desde su administración. El estudio indica que el medicamento sigue dos fases diferenciadas: • Fase de absorción: En las primeras dos horas, el fármaco se distribuye por el organismo. • Fase de eliminación: A partir de la segunda hora, el fármaco empieza a eliminarse. Este comportamiento se modeliza mediante la siguiente función matemática:f(x)={x2−6x+11si 0≤x<295x−1si x≥2f(x) = \begin{cases} x^2 - 6x + 11 & \text{si } 0 \leq x < 2 \\ \frac{9}{\sqrt{5x - 1}} & \text{si } x \geq 2 \end{cases}
a
Confirmar si este modelo es realmente continuo. Justifica tu respuesta.0,5 pts
b
La concentración residual varía con el tiempo, comprobar que la velocidad de crecimiento instantánea de la concentración residual a las 3 horas de administrar Metabolix es mayor que −0,5 (mg/L)/h-0{,}5\,(\text{mg/L)/h}.0,75 pts
c
¿Es cierto que la concentración residual del fármaco en la sangre siempre va disminuyendo con respecto al tiempo transcurrido? Averiguar en qué instante la concentración residual es máxima y calcular el valor de dicha concentración.0,75 pts
d
Pasado un largo periodo de tiempo, ¿cuál será la concentración residual de este medicamento?0,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Bloque 2Álgebra

Seleccione solo una pregunta del bloque 2.

Dada la matriz M∈M2×2,M=(1a−3−11)M \in M_{2 \times 2}, M = \begin{pmatrix} 1 & a - 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} con a∈Ra \in \mathbb{R}.
a
Para cualquier valor del parámetro aa: comprobar que MM es invertible y dar la expresión de M−1M^{-1}.1 pt
b
Para a=−1a = -1, calcula el valor de la matriz XX que satisface la ecuación MX=A−2BMX = A - 2B, siendo:A=(0−1312−2) y B=(103−121)A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -2 \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Bloque 2Álgebra

Seleccione solo una pregunta del bloque 2.

Dada la matriz A=(5−422k1−44k)A = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\ 2 & k & 1 \\ -4 & 4 & k \end{pmatrix}, con k∈Rk \in \mathbb{R}.
a
Estudiar el rango de AA según los valores del parámetro kk.1,25 pts
b
Para k=−1k = -1, comprobar que A2=2A−IA^2 = 2A - I, donde II denota la matriz identidad de orden 3. Además, utilizando la igualdad anterior verifica, sin calcular la potencia, que A4=4A−3IA^4 = 4A - 3I.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque 3Geometría

Seleccione solo una pregunta del bloque 3.

En el espacio tridimensional, dados el punto PP y las rectas r1r_1 y r2r_2 siguientes:P(2,−1,1);r1:{4x+3y−3z=22x−3y−6z=1;r2:x+32=2−y=z+43P(2, -1, 1); \quad r_1: \begin{cases} 4x + 3y - 3z = 2 \\ 2x - 3y - 6z = 1 \end{cases}; \quad r_2: \frac{x + 3}{2} = 2 - y = \frac{z + 4}{3}
a
Comprobar que P∈r1P \in r_1 y que P∉r2P \notin r_2.0,25 pts
b
Hallar la distancia entre el punto PP y el punto de intersección de las rectas r1r_1 y r2r_2.1 pt
c
Hallar el ángulo con el que se cortan las rectas r1r_1 y r2r_2.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Bloque 3Geometría

Seleccione solo una pregunta del bloque 3.

En el espacio tridimensional se consideran los siguientes elementos geométricos:A(1,0,2);π:−x+2y+z+1=0;r:{4x−7y+2z=7y−2z+5=0A(1, 0, 2); \quad \pi: -x + 2y + z + 1 = 0; \quad r: \begin{cases} 4x - 7y + 2z = 7 \\ y - 2z + 5 = 0 \end{cases}
a
Hallar la posición relativa del plano π\pi y la recta rr.1 pt
b
Hallar el punto simétrico de AA con respecto del plano π\pi.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Bloque 4Probabilidad

Seleccione solo una pregunta del bloque 4.

En una feria, un participante tiene la oportunidad de ganar premios eligiendo entre tres cajas sorpresa: una con premio y dos vacías. Hay una regla especial si se selecciona una caja vacía: En caso de elegir una caja sin premio, se debe extraer una bola al azar de una urna compuesta por 2 bolas verdes y 3 negras, de idéntica forma y tamaño. Si se elige la bola negra, finaliza la jugada sin premio. Si se elige la bola verde, tendrá la oportunidad de elegir una nueva caja, de las dos cajas no seleccionadas anteriormente, y acabaría la jugada.
a
Dibujar un diagrama de árbol que refleje todos los posibles casos de este juego.0,5 pts
b
Calcular la probabilidad de obtener premio en este juego.1 pt
c
Si el participante ha obtenido premio, ¿cuál es la probabilidad de que haya elegido una bola verde en la urna?1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Bloque 4Probabilidad

Seleccione solo una pregunta del bloque 4.

La temperatura diurna en el Parque Nacional de las Cañadas del Teide durante el mes de agosto sigue una distribución normal. La temperatura media durante el día es de 22∘C22^{\circ}\text{C} con desviación típica de 5∘C5^{\circ}\text{C}. Además, se sabe que las condiciones ideales para realizar senderismo es cuando la temperatura diurna se sitúa entre 18∘C18^{\circ}\text{C} y 25∘C25^{\circ}\text{C}. Si se superan los 30∘C30^{\circ}\text{C}, los excursionistas tendrían un riesgo elevado de insolación. Mientras que, si la temperatura se sitúa por debajo de los 15∘C15^{\circ}\text{C}, existe riesgo de cambios meteorológicos bruscos previstos para ese día. Se está elaborando una guía informativa para los servicios de emergencia.
a
¿Qué probabilidad hay de que un día de agosto se den las condiciones ideales para realizar senderismo?0,75 pts
b
¿Cuántos días de agosto se espera que haya senderistas con riesgo de insolación?0,75 pts
c
Si las Cañadas del Teide recibe un promedio de 1100011000 visitantes diarios en el mes de agosto y, de ellos, un 5%5\% realiza senderismo. ¿Cuántos senderistas se estima que se puedan ver afectados por cambios meteorológicos bruscos a lo largo de dicho mes?1 pt
Ver este ejercicio