Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2010

Definición de derivada de una función en un punto.

Dada la función $$f(x) = \begin{cases} \frac{ax + \sen x}{2x - x^2} & \text{si } x < 0 \\ bx + c & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ \frac{1}{1 + x} & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$$ determina los parámetros $a, b, c \in \mathbb{R}$ para que $f(x)$ sea una función continua en $x = 0$, y además sea continua y derivable en $x = 1$.

Halla su expresión polinómica simplificada calculando el determinante.

Calcula las coordenadas de su punto de inflexión y los intervalos en donde sea cóncava hacia arriba ($\cup$) y cóncava hacia abajo ($\cap$).

Determina el dominio de la función $f(x) = \sqrt{2x + 1}$.

Calcula la integral definida: $\int_{-1/2}^{0} f(x) dx$.

Enuncia la fórmula de integración por partes.

Calcula la integral indefinida: $\int x \ln x dx$.

¿Para qué valores $\lambda \in \mathbb{R}$ existe la matriz inversa de $M$?

Para $\lambda = 0$ resuelve, si es posible, la ecuación $X \cdot M = 2F$, donde $X$ es una matriz cuadrada de orden 3.

Clasifica en función del parámetro $\lambda \in \mathbb{R}$ el sistema de ecuaciones $$\begin{cases} 2x + y + \lambda z = 0 \\ x - 2y + z = 0 \\ x + 3y + z = 10 \end{cases}$$

Resuélvelo, si es posible, para $\lambda = -3$.

Calcula la distancia desde el punto $P$ a la recta $r$.

Halla unas ecuaciones paramétricas de una recta $s$ que pase por el punto $P$ y corte perpendicularmente a la recta $r$.

Determina los parámetros $a, b \in \mathbb{R}$ para que los planos $\pi$ y $\pi'$ sean paralelos.

Para los valores $a$ y $b$ obtenidos, estudia la posición relativa del plano $\pi$ y la recta $r$ en función de $c \in \mathbb{R}$.