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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2010Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2010

4 ejercicios

Instrucciones

El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Los ejercicios deben redactarse con claridad y lo más detalladamente posible. Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntúa 2,5 puntos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Definición de derivada de una función en un punto.0,5 pts
b
Dada la función f(x)={ax+sen⁡x2x−x2si x<0bx+csi 0≤x<111+xsi x≥1f(x) = \begin{cases} \frac{ax + \sen x}{2x - x^2} & \text{si } x < 0 \\ bx + c & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ \frac{1}{1 + x} & \text{si } x \geq 1 \end{cases} determina los parámetros a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} para que f(x)f(x) sea una función continua en x=0x = 0, y además sea continua y derivable en x=1x = 1.2 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Determina el dominio de la función f(x)=2x+1f(x) = \sqrt{2x + 1}.1 pt
b
Calcula la integral definida: ∫−1/20f(x)dx\int_{-1/2}^{0} f(x) dx.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dadas las matrices M=(λλ−143λ21−3)M = \begin{pmatrix} \lambda & \lambda & -1 \\ 4 & 3 & \lambda \\ 2 & 1 & -3 \end{pmatrix} y F=(001010100)F = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, se pide:
a
¿Para qué valores λ∈R\lambda \in \mathbb{R} existe la matriz inversa de MM?1 pt
b
Para λ=0\lambda = 0 resuelve, si es posible, la ecuación X⋅M=2FX \cdot M = 2F, donde XX es una matriz cuadrada de orden 3.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dado el punto P(0,0,1)P(0, 0, 1) y la recta r≡{x+y+z=3x−y=0r \equiv \begin{cases} x + y + z = 3 \\ x - y = 0 \end{cases}, se pide:
a
Calcula la distancia desde el punto PP a la recta rr.1,25 pts
b
Halla unas ecuaciones paramétricas de una recta ss que pase por el punto PP y corte perpendicularmente a la recta rr.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dada la función definida por f(x)=∣3x100x1−10x−6∣f(x) = \begin{vmatrix} 3x & 1 & 0 \\ 0 & x & 1 \\ -1 & 0 & x - 6 \end{vmatrix}, se pide:
a
Halla su expresión polinómica simplificada calculando el determinante.0,5 pts
b
Calcula las coordenadas de su punto de inflexión y los intervalos en donde sea cóncava hacia arriba (∪\cup) y cóncava hacia abajo (∩\cap).2 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Enuncia la fórmula de integración por partes.0,5 pts
b
Calcula la integral indefinida: ∫xln⁡xdx\int x \ln x dx.2 pts
Datos
  • ln⁡x\ln x representa el logaritmo neperiano de xx
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Clasifica en función del parámetro λ∈R\lambda \in \mathbb{R} el sistema de ecuaciones {2x+y+λz=0x−2y+z=0x+3y+z=10\begin{cases} 2x + y + \lambda z = 0 \\ x - 2y + z = 0 \\ x + 3y + z = 10 \end{cases}1,5 pts
b
Resuélvelo, si es posible, para λ=−3\lambda = -3.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Consideremos los planos π≡ax+by+3z=c\pi \equiv ax + by + 3z = c, π′≡2x−y+z=3\pi' \equiv 2x - y + z = 3 y la recta r≡{2x+3z=0y+2z=−4r \equiv \begin{cases} 2x + 3z = 0 \\ y + 2z = -4 \end{cases}
a
Determina los parámetros a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} para que los planos π\pi y π′\pi' sean paralelos.1 pt
b
Para los valores aa y bb obtenidos, estudia la posición relativa del plano π\pi y la recta rr en función de c∈Rc \in \mathbb{R}.1,5 pts
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