Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2022Extraordinaria

Matemáticas II · Madrid 2022

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Despues de leer atentamente el examen, responda razonadamente cuatro preguntas cualesquiera a elegir entre las ocho que se proponen. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. CALIFICACIÓN: La valoración de cada ejercicio se especifica en el enunciado. TIEMPO: 90 minutos.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
En una estantería de una biblioteca hay ensayos, novelas y biografías. Tres de cada dieciséis libros de la estantería son ensayos. Las biografías junto con la tercera parte de los ensayos exceden en dos a las novelas. Si retiráramos la mitad de los ensayos y la quinta parte de las novelas quedarían ciento cinco libros. Calcule el número de libros de cada clase que hay en la estantería.
Ver este ejercicio

Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Se consideran las matrices realesA=(1−1kk1−1),B=(111−110)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & k \\ k & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
a
Calcule para qué valores del parámetro kk tiene inversa la matriz ABAB. Calcule la matriz inversa de ABAB para k=1k = 1.1 pt
b
Calcule BABA y discuta su rango en función del valor del parámetro real kk.1 pt
c
En el caso k=1k = 1, escriba un sistema incompatible de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas cuya matriz de coeficientes sea BABA.0,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Sea la funciónf(x)={2x+1xx<0x2−4x+3x≥0f(x) = \begin{cases} \frac{2x + 1}{x} & x < 0 \\ x^2 - 4x + 3 & x \geq 0 \end{cases}
a
Estudie la continuidad de f(x)f(x) en R\mathbb{R}.0,75 pts
b
¿Es f(x)f(x) derivable en x=0x = 0? Justifique la respuesta.0,25 pts
c
Calcule, si existen, las ecuaciones de sus asíntotas horizontales y verticales.0,75 pts
d
Determine para x∈(0,∞)x \in (0, \infty) el punto de la gráfica de f(x)f(x) en el que la pendiente de la recta tangente es nula y obtenga la ecuación de la recta tangente en dicho punto. En el punto obtenido, ¿alcanza f(x)f(x) algún extremo relativo? En caso afirmativo, clasifíquelo.0,75 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Sea la funciónf(x)={xsi x≤0xln⁡(x)si x>0f(x) = \begin{cases} x & \text{si } x \leq 0 \\ x \ln(x) & \text{si } x > 0 \end{cases}
a
Estudie la continuidad y la derivabilidad de f(x)f(x) en x=0x = 0.0,5 pts
b
Estudie los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(x)f(x), así como los máximos y mínimos relativos.1 pt
c
Calcule ∫12f(x) dx\int_{1}^{2} f(x) \, dx.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Sean el plano π≡z=x\pi \equiv z = x y los puntos A(0,−1,0)A(0, -1, 0) y B(0,1,0)B(0, 1, 0) pertenecientes al plano π\pi.
a
Si los puntos AA y BB son vértices contiguos de un cuadrado con vértices {A,B,C,D}\{A, B, C, D\} que se encuentra en el plano π\pi, encuentre los posibles puntos CC y DD.1,25 pts
b
Si los puntos AA y BB son vértices opuestos de un cuadrado que se encuentra en el plano π\pi, determine los otros dos vértices del mismo.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Sean las rectas r≡{x+y+2=0y−2z+1=0ys≡{x=2−2ty=5+2tz=tt∈Rr \equiv \begin{cases} x + y + 2 = 0 \\ y - 2z + 1 = 0 \end{cases} \quad\allowbreak \text{y} \quad\allowbreak s \equiv \begin{cases} x = 2 - 2t \\ y = 5 + 2t \\ z = t \end{cases} \quad\allowbreak t \in \mathbb{R}.
a
Estudie la posición relativa de las rectas dadas y calcule la distancia entre ellas.1,5 pts
b
Determine una ecuación del plano π\pi que contiene a las rectas rr y ss.0,5 pts
c
Sean PP y QQ los puntos de las rectas rr y ss, respectivamente, que están contenidos en el plano de ecuación z=0z = 0. Calcular una ecuación de la recta que pasa por los puntos PP y QQ.0,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
En una comunidad autónoma tres de cada cinco alumnos de segundo de bachillerato están matriculados en la asignatura de Matemáticas II. Se eligen 6 alumnos al azar de entre todos los alumnos de segundo de bachillerato. Se pide:
a
Calcular la probabilidad de que exactamente cuatro de ellos estén matriculados en Matemáticas II.0,75 pts
b
Calcular la probabilidad de que alguno de ellos esté matriculado en Matemáticas II.0,75 pts
c
Si en un instituto hay matriculados en segundo de bachillerato 120 alumnos, calcular, aproximando la distribución binomial mediante una distribución normal, la probabilidad de que más de 60 de estos alumnos estén matriculados en Matemáticas II.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Una empresa comercializa tres tipos de productos A, B y C. Cuatro de cada siete productos son de tipo A, dos de cada siete productos son de tipo B y el resto lo son de tipo C. A la exportación se destina un 40%40\% de los productos tipo A, un 60%60\% de los productos tipo B y un 20%20\% de los productos tipo C. Elegido un producto al azar, se pide:
a
Calcular la probabilidad de que el producto sea destinado a la exportación.1,25 pts
b
Calcular la probabilidad de que sea del tipo C sabiendo que el producto es destinado a la exportación.1,25 pts
Ver este ejercicio