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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2023Ordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2023

10 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger libremente cinco ejercicios completos de los diez propuestos. Se expresará claramente cuáles son los elegidos. Si se resolvieran más, sólo se corregirán los 5 primeros que estén resueltos (según el orden de numeración de pliegos y hojas de cada pliego) y que no aparezcan totalmente tachados. 2.- CALCULADORA: Podrán usarse calculadoras no programables, que no admitan memoria para texto, ni para resolución de ecuaciones, ni para resolución de integrales, ni para representaciones gráficas.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Álgebra
Calcular λ\lambda y μ\mu para que el sistema de ecuaciones lineales {x+2y+z=μλx+y=1y+λz=−1\begin{cases} x + 2y + z = \mu \\ \lambda x + y = 1 \\ y + \lambda z = -1 \end{cases} tenga infinitas soluciones.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Álgebra
Dadas las matrices A=(101−110)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} y B=(x0y1zx+y)B = \begin{pmatrix} x & 0 \\ y & 1 \\ z & x+y \end{pmatrix}, calcular los valores de x,y,z∈Rx, y, z \in \mathbb{R} para que A⋅BA \cdot B sea igual a la inversa C−1C^{-1} de la matriz C=(1110)C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Geometría
Calcular la ecuación del plano π\pi que es perpendicular al plano σ≡x+2y+3z=0\sigma \equiv x + 2y + 3z = 0 y pasa por los puntos P=(0,0,0)P = (0, 0, 0) y Q=(0,1,1)Q = (0, 1, 1).
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Geometría
Dados el plano π≡x+2y−2z=0\pi \equiv x + 2y - 2z = 0 y la recta r≡x−2=y−42=z−11r \equiv \frac{x}{-2} = \frac{y-4}{2} = \frac{z-1}{1}, se pide:
a
Comprobar que rr es paralela a π\pi.1 pt
b
Hallar el plano π′\pi', distinto de π\pi y paralelo a π\pi, cuya distancia a π\pi coincide con la de rr.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Análisis
a
Determinar aa y bb de modo que las funciones f(x)=x2−af(x) = x^2 - a y g(x)=(x−b)exg(x) = (x - b)e^x tomen el mismo valor en un punto en el que ambas tengan un extremo relativo.1 pt
b
Demostrar que la función f(x)=2x+sen⁡xf(x) = 2x + \sen x solo se anula en el punto x=0x = 0.1 pt
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Análisis
a
Determínense el dominio de definición, intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos, si existen, de la función f(x)=x(ln⁡x−1)f(x) = x(\ln x - 1).1 pt
b
Calcúlese ∫x(ln⁡x−1)dx\int x(\ln x - 1) dx.1 pt
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Análisis
Calcular lim⁡x→2x3+x−1−x3+1x−2\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^3 + x - 1} - \sqrt{x^3 + 1}}{x - 2}.
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Análisis
Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x)=xe−xf(x) = xe^{-x} y el eje de abscisas cuando xx varía en el intervalo [−1,0][-1, 0].
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Ejercicio 9

9
2 puntos
Probabilidad y estadística
Un 50% de los participantes en un torneo abierto de ajedrez celebrado en Salamanca son españoles, un 30% son europeos no españoles y los demás proceden del resto del mundo. De ellos, dos tercios de los españoles, la mitad de los europeos no españoles y un tercio de los no europeos no pasan de los 40 años.
a
Indicar las 6 probabilidades que aparecen en el enunciado.0,6 pts
b
Si se selecciona un participante al azar ¿Calcular la probabilidad de que no tenga más de 40 años?0,7 pts
c
Si se elige al azar un participante del torneo y no tiene más de 40 años, ¿cuál es la probabilidad de que sea español?0,7 pts
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Ejercicio 10

10
2 puntos
Probabilidad y estadística
Si lanzamos al mismo tiempo dos dados idénticos y del tipo usual (es decir, que sean cúbicos, que todas sus caras tengan la misma probabilidad de quedar hacia arriba y que en cada una de ellas aparezca un número de puntos que varíe desde el uno hasta el seis), ¿cuál es la probabilidad de que la suma de las puntuaciones obtenidas en los dos dados coincida con la suma más frecuente?
Gráfica de la función de densidad de una distribución normal estándar con el área bajo la curva sombreada hasta un valor x.
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